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分步乘法计数原理应用举例
21世纪数学发展的四大趋势是：数学的各个子学科之间正在互相发生交叉；数学与其他学科正在互相影响，越来越互相依赖；数学将越来越多地影响到商业、金融、安全、管理等学科的发展；科学研究将从分科目的研究发展到跨学科的研究，而数学将在其中扮演核心的角色；数学研究的焦点将从追求简化走向复杂。——格里菲思（国际数学会领导）
美国数学家克莱因讲过：“音乐能激发或抚慰情怀, 绘画能使人赏心悦目, 诗歌能有动人心弦, 哲学能使人获得智慧, 科技可以改变物质生活, 而数学却能提供以上一切.”
数学发展的真正动力来自于科学技术的应用实践。数学表达关系式量化、条理化、简化特点，可以成为科学技术研究的有力工具和手段，推理出的新结论常是有意义的发现。分步乘法计数原理是组合数学中的一条重要原理，在自然科学和社会生活中有广泛的应用，下面列举几例在中学自然科学中的应用，供同学们参考。
例1、 已知H有三种同位素，Cl有两种同位素，O有两种同位素，请问共有多少种HCl分子和H2O分子？
解：对于HCl分子分两步完成：第一步选择氢原子共有三种，第二步选择氯原子共有两种，根据分步乘法计数原理得出有6种HCl分子。
同理，对于两个H原子而言，如果是同种H原子有三种，不同种有C32种，即有6种选法，O原子有两种选法，因此共有12种H2O分子。
例2、基因型为AaBbCcDd生物体自交，每对等位基因分别位于不同的染色体，不考虑基因突变，按照自由组合规律，产生后代的基因型和表现型最多有多少种？
解：根据遗传学原理，每对等位基因产生的基因型共有三种，表现型共有两种，根据分步乘法计数原理得出基因型共有34=81种，表现型共有24=16种。
一般地，n对等位基因产生的基因型共有3n种，表现型共有2n种。
例3、已知有20001个零件，其中有一个不合格，并且不合格零件的质量较小，请问运用天平至少需要测量几次就可找出不合格零件？
解：如果3个零件中有一个不合格，把其中两个放在天平的两端，若天平平衡，则第三个零件为假零件；若不平衡，则较轻的一个为假零件，即测量一次最多可区分3个零件。类似两次至多可区分32个零件——先平分成三组，第一次先找出在哪一组，第二次再找出哪一个。、、、、、、，根据分步乘法计数原理得出n次最多可区分3n个零件，因此只需要求不等式3n≥20001的最小正整数解即可。
例4、若集合A1、A2满足A1∪A2= A，则称（A1、A2）为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1、A2）与（A2、A1）为集合A的同一种分拆，集合A={a1,a2,a3,…,an}
１
的不同分拆的种数是多少？
解：每一个元素有三种可能性——在集合A1、集合A2或者同时在两个集合内，因此根据分步乘法计数原理共有3n种分拆。同理一个集合有n个元素，拆成3个集合，共7n种分拆。
例5、已知：A1∪A2∪A3∪A4…∪Am={a1,a2,a3,…,an}，求一共有多少种分拆？ 解：元素a1对于集合A1有两种可能性，对于集合A2有两种可能性，、、、，但是a1
不能不在任何一个集合内，元素a1共有2m-1种可能性，同理元素a2共有2m-1种可能性，、、、，因此共有（2m-1）n种分拆。
例6、设U={1，2，3，、、、，9}，A与B是U的子集，若A∩B={1，2，3}就称集对（A，B）为“好集”，那么所有好集的个数是（）
（A）62（B）63（C）36（D）26 分析：对于4，5，6，、、、，9这6个元素，每个元素有三种类型——属于集合A且不属于B，属于集合B且不属于A，既不属于集合A也不属于B，根据分布乘法计数原理得所有好集的个数是36。
丘成桐认为：数学是一种很有意义、很美丽同时也很重要的学科。从实用来讲，数学遍及物理和工程，最近发现，它和生物、化学、经济（甚至以后会和社会学）有很密切的联系。数学能够对应用科学做出很重要的贡献。我们研究数学的觉得很满意的另外一点是，它能够用简单而美丽的理论解释自然界的现象和基本问题，它用简单的语言来诠释繁复的自然现象。更有意思的是，数学本身也好像是一首诗或者一篇美丽的文章，我们可以欣赏它本身的美。所以数学在很多方面来讲都是很特殊的一种学科，研究数学就是一种乐趣的享受。数学的美也是基本科学的美。
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本文来源：https://www.wddqxz.cn/18996764fd4733687e21af45b307e87101f6f8e3.html
2023-04-17
