导数与定积分(极值最值带参数)

2022-04-24 05:30:18   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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极值,导数,积分,参数
函数极值最值的讨论(陆开昌编辑200759日星期三)

1

, 函数取得极大值, m的值为 ( ) 3

11

2x, x, y'3x24xm0

33

11143()24m0解得m1(附:极小值f(1)0极大值f()

33327

3、函数f(x)x3ax23x9, 已知f(x)x3时取得极值, a ( )

2

3f(x)x3x3y'2x2ax30

1256

3(3)22a(3)30解得a5(附:极小值f(3)0极大值f()

327

3

4、已知函数y=-x 22x3在区间[a, 2]上的最大值为3, a等于 ( )

4

4解:y'2x22(x1)0得极值点是x1通过列表得函数在(,1)是增函数,x1处取得极大值f(1)4,函数在(1,)是减函数。如图所示:

3

由于函数在区间[a, 2]上的最大值34则必定有

43

a在对称轴右边,并且所求的最大值3f(a)

4232

所以a1a2a33 -14

31

a2 解得a1(舍去),

-522

2、若函数yx 32x 2mx, x

8642

10

-5

5

10

15

-2-4

20





3

2

-6

-8

1

5、函数yaxbx取得极大值或极小值时的x值分别为0, ab的关系式是

3

A. a2b0 B. 2ab0 C. 2ab0 D. a2b0

12

5、解:y'3ax2bx由函数yax 3bx 2取得极大值或极小值时的x值分别为0,则代入导数,y'值为

3

11212

0 ;①x0代入得3a02b00x代入得3a()2b0由①②得a2b0

333

-10-12

6、求函数yx6xa的极大值和极小值 6

3

y'3x260x12,x22

f(2)(2)36(2)a42a极小值是f(2)(2)362a42a

32

7、已知函数yaxbx,x1, y的极值为3.: (1) a, b的值; (2) 该函数单调区间.

7、解:(1) y3ax2bx

2

f'(1)3a2b0a6

y6x39x2. x1, y的极值为3.

f(1)ab3b9

2

(2) y18x18x00x1

2

y18x18x0x1x0 y(0, 1)上为单调增函数;

y(, 0),(1, )上为单调减函数.


函数极值最值的讨论(陆开昌编辑200759日星期三)



8、已知函数f(x)x33x29xa, (1) f(x)的单调递减区间;

(2) f(x)在区间[2, 2]上的最大值为20, 求它在该区间上的最小值.

8、解:令f'(x)3x26x93(x3)(x1)0x11,x23列出表格 自变量x的取值 (1,3) 3 (3,) (,1) 1

0 0 f'(x)3(x3)(x1)

极小值 增函数 极大值 减函数 f(x)x33x29xa, 减函数







1f(x)的单调递减区间是(,1)(3,)

2)由表格可知,区间[2, 2]上的最大值是f(2)f(2)最小值是f(1)

因为f(2)81218a2a, f(2)81218a22a, f(2)f(2)22a20a,,

f(x)x33x29x2,

f(1)13927

9、已知f(x)2x36x2aa是常数),在2,2上有最大值3,那么在2,2上的最小值 A5 B11

C29 D37

9、解:令f'(x)6x26x6x(x1)0x10,x21列出表格

自变量x的取值 (,0) 0 (0,1) 1 (1,)

0 0 f'(x)6x(x1)







f(x)2x36x2a 增函数

极大值 减函数 极小值 增函数

2,2上的最大值是f(0)f(2);因为f(0)af(2)8a所以最大值是f(0)a3 所以函数f(x)2x36x23,最小值是f(2)f(1)

因为f(2)2(2)36(2)2337f(1)21361231所以函数在2,2上的最小值是f(2)37

10、已知函数yx2x3在区间[0m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是

A[1,)

B[02]

C(,2]

D[12]

2

2

10、解:函数yx2x3(,1)上是减函数,在[1,)上是增函数并且f(0)3f(1)2

f(2)3。由题目,函数在区间[0m]上的最小值是2,最大值3,所以 1m2

11、函数yx6xm的最小值为1,则m的值为

11、令y'2x60x3则最小值是f(3)363m1解得m10

2

2

2]上的最大值是4,求a的值. 12、已知f(x)x2ax1[1

12、解:令f'(x)2x2a0xa

2


函数极值最值的讨论(陆开昌编辑200759日星期三)

13、函数f(x)axlnx,(a0)有最大值, a的取值范围是 14、设x=1x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点.

(1)试确定常数ab的值;

(2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值,并说明理由. 15a为实数,函数f(x)x3x2xa.

(1) f(x)的极值.

(2) a在什么范围内取值时, 曲线yf(x)x轴仅有一个交点.

16、已知f(x)x33bx2c, 若函数f(x)的一个极值点落在x轴上, bc的值.

3

2

1x22xa

17、已知函数fxx[1,) 1)a时,求函数的最小值。

2x

2)若对于任意的实数x[1,)fx0恒成立,求实数a的取值范围。

1804年天津卷.65)若函数f(x)logax(0a1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,则a=

1122

B. C. D.

4242

1904年湖北卷.7)函数f(x)axloga(x1)[0,1]上的最大值与最小值之和为a,a

A.

的值为

A

11

B C2 D4 42

20(本小题满分15分)已知函数f(x)xln(xm)在定义域内连续. (Ⅰ)求f(x)的单调区间和极值;

21(本小题满分15分)设函数f(x)x6x5,xR (Ⅰ)求f(x)的单调区间和极值;

(Ⅱ)若关于x的方程f(x)a3个不同实根,求实数a的取值范围.

[例1]已知f(x)=ax3+bx2+cx(a0)x=±1时取得极值,且f(1)=1.

(1)试求常数abc的值;

(2)试判断x=±1是函数的极小值还是极大值,并说明理由.

32

23 已知x1是函数f(x)mx3(m1)xnx1的一个极值点, 其中m,nR,m0,

3

(1) mn的关系式; (2) f(x)的单调区间;

263

236

a1函数f(x)=x3ax2b(x[11])的最大值为1最小值为-322

求常数ab的值。


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