导数与定积分(极值最值带参数)

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函数极值最值的讨论（陆开昌编辑2007年5月9日星期三）

1

时, 函数取得极大值, 则m的值为 ( ) 3

11

2、解：因为当x＝时, 函数取得极大值，所以x＝时, 导数y'3x24xm0即

33

11143()24m0解得m1（附：极小值f(1)0极大值f()）

33327

3、函数f(x)x3ax23x9, 已知f(x)在x3时取得极值, 则a ( )

2

3、解：由已知f(x)在x3时取得极值则在x3时导数y'2x2ax3即0

1256

） 3(3)22a(3)30解得a5（附：极小值f(3)0极大值f()

327

3

4、已知函数y＝－x 2－2x＋3在区间[a, 2]上的最大值为3, 则a等于 ( )

4

4、解：令y'2x22(x1)0得极值点是x1通过列表得函数在(,1)是增函数，在x1处取得极大值f(1)4，函数在(1,)是减函数。如图所示：

3

由于函数在区间[a, 2]上的最大值34则必定有

43

a在对称轴右边，并且所求的最大值3f(a)

4232

所以a1，a2a33 -14

31

a2 解得a1（舍去），

-522

2、若函数y＝x 3－2x 2＋mx, 当x＝

8642

10

-5

5

10

15

-2-4

20





3

2

-6

-8

1

5、函数y＝ax＋bx取得极大值或极小值时的x值分别为0和, 则a、b的关系式是

3

A. a2b＝0 B. 2ab＝0 C. 2ab＝0 D. a2b＝0

12

5、解：y'3ax2bx由函数y＝ax 3＋bx 2取得极大值或极小值时的x值分别为0和,则代入导数，y'值为

3

11212

0 ；①x0代入得3a02b00②x代入得3a()2b0由①②得a2b0

333

-10-12

6、求函数yx6xa的极大值和极小值 6、解：令

3

y'3x260解得x12,x22列表可以知道极大值是

f(2)(2)36(2)a42a极小值是f(2)(2)362a42a

32

7、已知函数yaxbx,当x1时, y的极值为3.求: (1) a, b的值; (2) 该函数单调区间.

7、解：(1) y3ax2bx

2

f'(1)3a2b0a6

y6x39x2. 当x1时, y的极值为3.

f(1)ab3b9

2

(2) 令y18x18x00x1

2

令y18x18x0x1或x0 y在(0, 1)上为单调增函数;

y在(, 0),(1, )上为单调减函数.


函数极值最值的讨论（陆开昌编辑2007年5月9日星期三）



8、已知函数f(x)x33x29xa, (1) 求f(x)的单调递减区间;

(2) 若f(x)在区间[2, 2]上的最大值为20, 求它在该区间上的最小值.

8、解：令f'(x)3x26x93(x3)(x1)0得x11,x23列出表格得 自变量x的取值 (1,3) 3 (3,) (,1) 1

0 0 f'(x)3(x3)(x1)

极小值 增函数 极大值 减函数 f(x)x33x29xa, 减函数







（1）f(x)的单调递减区间是(,1)和(3,)

（2）由表格可知，区间[2, 2]上的最大值是f(2)或f(2)最小值是f(1)

因为f(2)81218a2a, f(2)81218a22a, 所以f(2)f(2)，所以22a20a,,

所以故f(x)x33x29x2,最小值

f(1)13927

9、已知f(x)2x36x2a（a是常数），在2,2上有最大值3，那么在2,2上的最小值是 A．5 B．11

C．29 D．37

9、解：令f'(x)6x26x6x(x1)0得x10,x21列出表格得

自变量x的取值 (,0) 0 (0,1) 1 (1,)

0 0 f'(x)6x(x1)







f(x)2x36x2a 增函数

极大值 减函数 极小值 增函数

在2,2上的最大值是f(0)或f(2)；因为f(0)a，f(2)8a所以最大值是f(0)a3 所以函数f(x)2x36x23，最小值是f(2)或f(1)；

因为f(2)2(2)36(2)2337，f(1)21361231所以函数在2,2上的最小值是f(2)37

10、已知函数yx2x3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是

A．[1,)

B．[0，2]

C．(,2]

D．[1，2]

2

2

10、解：函数yx2x3在(,1)上是减函数，在[1,)上是增函数并且f(0)3，f(1)2，

f(2)3。由题目，函数在区间[0，m]上的最小值是2，最大值3，所以 1m2

11、函数yx6xm的最小值为1，则m的值为

11、令y'2x60得x3则最小值是f(3)363m1解得m10

2

2

，2]上的最大值是4，求a的值． 12、已知f(x)x2ax1在[1

12、解：令f'(x)2x2a0得xa

2


函数极值最值的讨论（陆开昌编辑2007年5月9日星期三）

13、函数f(x)axlnx,(a0)有最大值, 则a的取值范围是 14、设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点.

(1)试确定常数a和b的值；

(2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由. 15、设a为实数,函数f(x)x3x2xa.

(1) 求f(x)的极值.

(2) 当a在什么范围内取值时, 曲线yf(x)与x轴仅有一个交点.

16、已知f(x)x33bx2c, 若函数f(x)的一个极值点落在x轴上, 求bc的值.

3

2

1x22xa

17、已知函数fx，x[1,)， 1)当a时，求函数的最小值。

2x

2)若对于任意的实数x[1,)，fx0恒成立，求实数a的取值范围。

18、（04年天津卷.文6理5）若函数f(x)logax(0a1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a=

1122

B. C. D.

4242

19、（04年湖北卷.理7）函数f(x)axloga(x1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a,则a

A.

的值为

（A）

11

（B） （C）2 （D）4 42

20、（本小题满分15分）已知函数f(x)xln(xm)在定义域内连续. （Ⅰ）求f(x)的单调区间和极值；

21、（本小题满分15分）设函数f(x)x6x5,xR （Ⅰ）求f(x)的单调区间和极值；

（Ⅱ）若关于x的方程f(x)a有3个不同实根，求实数a的取值范围.

［例1］已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1时取得极值，且f(1)=－1.

(1)试求常数a、b、c的值；

(2)试判断x=±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由.

32

23、 已知x1是函数f(x)mx3(m1)xnx1的一个极值点, 其中m,nR,m0,

3

(1) 求m与n的关系式; (2) 求f(x)的单调区间;

26、例3：设

236

＜a＜1，函数f(x)=x3－ax2＋b，(x∈[－1，1])的最大值为1，最小值为－，322

求常数a，b的值。

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