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三元一次不定方程组的经典解题方法
对于不定方程组很多同学都觉得摸不着头脑,未知数和方程数都较多,感觉自己好像会其实又不会。那本文就来给大家讲解不定方程组的经典解法。不定方程组常分为两种形式,一种是不定方程组求个体,另一种是不定方程组求整体的。
【例1】某公司的6名员工一起去用餐,他们各自购买了三种不同食品中的一种,且每人只购买了一份。已知盖饭15元一份,水饺7元一份,面条9元一份,他们一共花费了60元。问他们中最多有几人买了水饺?( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解析:此题是典型的不定方程组求个体的题型,方法是消元变成不定方程用数字特性或者代入排除法。设出未知数,列方程为:
xyz6
15x7y9z60
因为求的是水饺,消掉未知数z得到不定方程3x-y=3,变形得到方程y=3x-3, 根据数字特性知道y应该是3的倍数,答案选C。
代入排除,只有选项C带入x可以得到整体,满足题意,答案选C。
【例2】甲买了3支签字笔、7支圆珠笔和1支铅笔,共花了32元,乙买了4支同样的签字笔、10支圆珠笔和1支铅笔,共花了43元。如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支,共用多少钱?( )
A. 21元 B. 11元 解析:本题是求的是整体
C. 10元 D. 17元
xyz整体的题型,方法是极值法或待定系数法。设未知数列方程为:
3x7yz32
4x10yz43
3xz32
4xz43,解得x=11,z=-1
极值法:设y=0,得到方程:
所以xyz10,本题答案C。
待定系数法:设x+y+z=a(3x+7y+z)+b(4x+10y+z)=(3a+4b)x+(7a+10b)y+(a+b)z 根据相同未知数的系数相等得3a+4b=1;7a+10b=1;a+b=1。解得a=3,b=﹣2. 所以x+y+z=a(3x+7y+z)+b(4x+10y+z)=3×32-2×43=10,本题选C。
希望同学们记住:不定方程组的问题在求个体的时候,先消元后用数字特性或者代入排除法来做;如果是不定方程组求整体,那我们用极值法或待定系数法来做。
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