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观察数列的极限
极限是高等数学中最基本的概念之一,初学者往往理解不够准确。 本实验的目的是: 利用数学软件Mathematica加深对数列极限概念的理解。
limanAann对于数列极限通俗的说法是:当充分大时,充分接近数A,则n。我们通
过利用Mathematica来计算数列{
an}足够多项的值,从而考察数列的极限。
limnsin
1
1n。
annsin
1
n的变化趋势。 annsin
1
n的前十项:
例1 用数、形结合的方法观察极限n
解:通过逐渐增加点并画点图,来观察当n越来越大时
为此,我们先利用Mathematica构造数据表data,其中包含了数列 data=Table[i Sin[1/i],{i,10}]
然后我们利用绘制点图的命令“ListPlot”来绘出这前10个点:
ListPlot[data,PlotRange{0,2},PlotStylePointSize[0.018]] 运行后得到点图1。
21.751.51.25
10.750.50.25
4
6
8
10
图1
我们还可以改变Table命令,增加绘制的点数,从而根据点图来观察,当数列{多项的值,该数列的极限。
另外,通过以下的循环语句,我们可以得到16幅图,图2中列出了其中的4幅,从左至右图中点数逐渐增多,从图中可以看出所画出的点逐渐接近于直线x
aa={Sin[1],2 Sin[1/2],3 Sin[1/3]}; Do[aa=Append[aa,i Sin[1/i]];
an}足够
1:
ListPlot[aa,PlotRange{0,2},PlotStylePointSize[0.018]], {i,4,20}]
21.751.51.25
10.750.50.25
1.5
2
2.5
3
3.5
4
21.751.51.25
10.750.50.25
21.751.51.25
10.750.50.25
234567
21.751.51.25
10.750.50.25
4
6
8
10
图2
5101520
为使图形更加生动,我们还可以用鼠标选定这些图形后进行动画演示(即选定这些图形后再同时按“Ctrl”和“Y”键)。
x11, y12
xn1xnynxnynyn1
2例2 设数列{xn}与{yn}由下式确定:
极限是否存在。
n1,2,n1,2,
,观察数列{xn}与{yn}的
解:输入以下语句可进行观察,此程序的功能是输出{xn}与{yn}的前10项数值。大家可改变For循环中终结语句(n10)来改变输出项的项数。 xy
fx_,y_:xy;gx_,y_:;xn1;yn
2
2;
;
Fornyn
2,n10,n,xNxn;yNyn;xnNfxN,yN;
NgxN,yN;Printxn,"
y10",yn
1.5 1.45711 1.45679 1.45679
",yn
Print"x10",xn,"
运行该程序可得: 1.41421
1.456481.456791.45679
1.456791.456791.456791.456791.45679x10
1.45679 1.45679 1.45679 1.45679 1.45679
y101.45679
1.45679
大家可以由运行结果可观察到,{xn}与{yn}均有极限,且这两极限值是相等的。
实验习题
1
lim(1)ne
n1、 根据上面的实验步骤,通过作图,观察重要极限:n。
2、 设数列{xn}由下列递推关系式给出:
x1
12
, xn1xnxn (n1,2,)2,观察数列
111
x11x21xn1的极限。
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