三角形内角平分线的性质定理的证明

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三角形内角平分线的性质定理的证明

一、定理 三角形内角平分线分对边为两部分与两邻边成比例. 二、证明 已知：如图，∠1=∠2. 求证：

方法一：利用平行线作等比代换.

ADAC

. =

BDBC



证明：作DE//BC，DE交AC于点E，则

ADAEAEAC

==.∠2=∠3， BDECDEBC

又∠1=∠2，∴∠1=∠3，于是DE=EC. ∴

ADAEAC

== BDDEBC

方法二：应用平行线分线段成比例定理，等比代换中辅以等量代换.



如图，作BE//DC，BE交AC的延长线于点E，则

ADAC

=，∠1=∠E，∠2=∠3. BDCE


又∠1=∠2，得∠3=∠E，于是 BC=CE， 则

ADAC

. =

BDBC

方法三：进行逆推分析，若在AC的延长线上作一个CE=BC，则只要BE//DC.



延长AC到点E，使CE=BC，连接BE，则∠3=（∠3+∠E）.又∠2=∠ACB，

1

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∠ACB=∠3+∠E，∴∠2=∠3，于是 BE//DC. 则

ADACAC

==. BDCEBC

证法4：如图20.改变△ADC的一个内角的大小，把它改造为△AEC，使之与△BDC相似并作等量代换.



BC时，不妨设AC>BC，∠CAB<∠B，以AC为一边，在∠CAB第一种情况：当AC≠

的同侧，作∠CAE=∠B，AE与CD的延长线交于点E.又∠1=∠2，∴△ACE∽△BCD. 则

AEBD

=，而∠3=∠4=180°-∠2-∠B=180°-∠1-∠CAE=∠E. ∴AE=AD，于是 ACBC

ADBDADAC

==，即. ACBCBDBC

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