2013全国数学竞赛Word

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中国教育学会中学数学教学专业委员会

2013年全国初中数学竞赛试题

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）

1、对正整数n，记n!123......n，则1!2!3!......10!的末尾数为（ ） A、0 B、1 C、3 D、5

x3

tx2

2、已知关于x的不等式组，恰好有5个整数解，则t的取值范围（ ）

2x5x53

11111111 B、6t C、6t D、6t 2222

xx2a2x

3、已知关于x的方程恰有一个实数根，则满足条件的a值有（ ） 2

x2xx2x

A、6t

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

4、如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ） A、3 B、4 C、6 D、8

5、在分别标有号码2，3，4，……，10的9个球中，随机取出两个球 记下它们的标号，则较大号码被较小号码整除的概率是（ ） A、

B

C

(第4题）

F

AD

E

1257 B、 C、 D、 491836

3

二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

2

6、设a33，b是a的小数部分，则b2的值为 ；

7、一个质地均匀的正方体六个面上分别标有1,2,3,4,5,6，掷这个正方体三次，则朝上面的数字之和为3的倍数的概率为 ；

8、已知正整数a，b，c满足ab2c20，3a8bc0，则abc的最大值为 ； 9、实数a,b,c,d满足：一元二次方程xcxd0的两根为a，b，一元二次方程

2

2

2

x2axb0的两根为c，d，则所有满足条件的数组a,b,c,d为 ；

10、小明某天在文具店做志愿卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元，开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元，则他至少卖出了 支圆珠笔。



1


三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

11、如图，抛物线yaxbx3，顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB=OC=3OA，直线y

12、如图，AB是圆O的直径，C为圆周上的一点，D为线段OB内的一点（不是端点），满足CD⊥AB，DE⊥CO，垂足为E，若CE=10，且AD与DB的长都为正整数，求线段AD的长？

213、设a，b，c为素数，记xbca，当zy，xycab，zabc，

2

1

x1与y轴交于点D，求DBCCBE。 3

y2

时，a，b，c是否能构成三角形的三边长？，说明理由。

14、如果将正整数M放在正整数m的左侧，所得的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如86放在415的左侧，所得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数），求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数a1,a2......an，满足对任意的一个正整数m，在a1,a2......an中都至少有一个为m的魔术数。



2

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