平面向量的所有公式

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平面向量的所有公式

平面向量的所有公式

设ａ＝(ｘ，y)，b＝(ｘ’,ｙ’)。 1、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC.

a+b=（x+x＇,y+y')。 ａ+０=0+a＝a。

向量加法的运算律: 交换律:a+b=ｂ+a； 结合律：（a+ｂ)＋c=a＋（b＋c）。 2、向量的减法

如果ａ、b是互为相反的向量，那么ａ=-b，ｂ=－a，a＋ｂ＝０. 0的反向量为０ AB—AC=ＣB。 即“共同起点,指向被减＂ ａ=(x,y） b＝(ｘ’,y＇） 则 a-b＝（ｘ—x’,y-y'）。 3、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa，且∣λa∣＝∣λ∣•∣a∣. 当λ＞0时,λa与a同方向； 当λ＜0时，λa与a反方向； 当λ=0时，λa＝0，方向任意。

当a＝0时,对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知,如果λa=０,那么λ=0或ａ＝0。

实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。 当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0）或反方向（λ<0）上伸长为原来的∣λ∣倍;

当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0）或反方向（λ<0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律:（λa)•b=λ(a•ｂ）=(a•λb）。

向量对于数的分配律（第一分配律):(λ+μ)ａ=λa+μa. 数对于向量的分配律(第二分配律）:λ(a+b)=λａ+λｂ. 数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λｂ，那么a=b。② 如果ａ≠0且λa=μa,那么λ=μ。 4、向量的的数量积

定义:已知两个非零向量a，b．作OA=a,OＢ=ｂ,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作ｂ〉并规定0≤〉≤π

定义：两个向量的数量积（内积、点积)是一个数量,记作ａ•b．若a、b不共线,则a•b=｜ａ|•｜ｂ|•cｏs〈a,ｂ>;若a、ｂ共线,则a•b＝+-∣a∣∣b∣。 向量的数量积的坐标表示:a•b=x•x＇+y•y’。 向量的数量积的运算律 a•b=b•ａ(交换律）；

(λa）•b=λ（a•b）(关于数乘法的结合律)； (a＋b)•c＝ａ•ｃ+b•c(分配律）; 向量的数量积的性质 a•ａ=|a|的平方。

a⊥b 〈＝〉a•ｂ＝0。 ｜a•ｂ｜≤|a|•|ｂ|。

向量的数量积与实数运算的主要不同点



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平面向量的所有公式

1、向量的数量积不满足结合律，即：（a•b)•c≠a•(b•c）；例如:（a•b）＾2≠ａ＾2•b^2。 2、向量的数量积不满足消去律,即：由 a•b＝a•c (a≠０),推不出 b=c. ３、|a•ｂ|≠|a|•|b|

4、由 ｜a|=|b｜ ，推不出 ａ=b或a=-b. 5、向量的向量积

定义:两个向量a和b的向量积（外积、叉积)是一个向量,记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣ａ×b∣=|a｜•|b｜•sin〈a,b>;ａ×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若ａ、b共线，则a×ｂ=0. 向量的向量积性质： ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。 ａ×a＝0。 a‖b〈=〉ａ×b=0。 向量的向量积运算律 ａ×ｂ=—b×ａ； (λａ）×ｂ=λ（a×b)=ａ×(λb); （a+b)×c=ａ×c+ｂ×c.

注：向量没有除法，“向量AＢ/向量ＣＤ＂是没有意义的. 6、向量的三角形不等式

1、∣∣ａ∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣ｂ∣； ① 当且仅当a、ｂ反向时,左边取等号; ② 当且仅当ａ、b同向时,右边取等号。

2、∣∣ａ∣—∣b∣∣≤∣a—b∣≤∣a∣＋∣b∣。 ① 当且仅当a、b同向时，左边取等号; ② 当且仅当ａ、b反向时，右边取等号。 ７、定比分点

定比分点公式(向量Ｐ1P=λ•向量PP２)

设Ｐ1、Ｐ2是直线上的两点，P是ｌ上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使 向量P１P=λ•向量ＰP2,λ叫做点P分有向线段P1P２所成的比. 若P1（x1，y１）,P2(x2,y2),P(x，y),则有

OＰ=（ＯP1+λＯP2)(1＋λ）;(定比分点向量公式) x＝（x１+λx2)/（1+λ),

y＝(y1＋λy２)/（1+λ)。(定比分点坐标公式）

我们把上面的式子叫做有向线段P1P２的定比分点公式 8、三点共线定理

若ＯC=λOA +μＯB ,且λ+μ=１ ，则A、Ｂ、Ｃ三点共线 9、三角形重心判断式

在△ABC中，若GＡ +GＢ +ＧＣ=O,则G为△ＡＢC的重心 10、向量共线的重要条件

若b≠0,则a/／ｂ的重要条件是存在唯一实数λ，使ａ=λｂ。 ａ//b的重要条件是 xｙ’—x'y=0。 零向量0平行于任何向量。 11、向量垂直的充要条件

ａ⊥b的充要条件是 a•ｂ=０.

a⊥b的充要条件是 ｘｘ＇＋yy’=０。 零向量0垂直于任何向量.



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