平面向量的所有公式

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平面向量的所有公式

平面向量的所有公式

设a=(x,y)b(’,’) 1、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC.

a+b=x+x,y+y') +=0+aa

向量加法的运算律: 交换律:a+b=+a 结合律:a+)c=a+(bc 2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=aa+b=0. 0的反向量为0 ABAC=B 共同起点,指向被减" =(x,y b(’,y a-b=(x—x’,y-y' 3、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λa. λ0,λaa同方向; λ0时,λaa反方向; λ=0时,λa0,方向任意。

a0,对于任意实数λ,都有λa=0

注:按定义知,如果λa=,那么λ=0或a=0

实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。 当∣λ>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;

当∣λ∣<1,表示向量a的有向线段在原方向0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律:λa)•b=λ(a•b)=(a•λb

向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)=λa+μa. 数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λ. 数乘向量的消去律: 如果实数λ≠0λa=λb,那么a=b 如果a≠0λa=μa,那么λ=μ 4、向量的的数量积

定义:已知两个非零向量ab.作OA=a,O=,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,b〉并规定0≤≤π

定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a•b.若ab不共线,a•b=|•|b|•csa,>;a、b共线,a•b+-a∣∣b∣。 向量的数量积的坐标表示:a•b=x•x+y•y’ 向量的数量积的运算律 a•b=b•(交换律)

(λa•b=λa•b(关于数乘法的结合律) (ab)•c=a+b•c(分配律); 向量的数量积的性质 a•=|a|的平方。

ab 〈=〉a•b=0 a•b|≤|a|•||

向量的数量积与实数运算的主要不同点



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平面向量的所有公式

1、向量的数量积不满足结合律,即:a•b)•c≠a•(b•c;例如:a•b)^2≠a^2•b^2 2、向量的数量积不满足消去律,即:由 a•ba•c (a≠),推不出 b=c. 3、|a•|≠|a|•|b|

4、由 a|=|b ,推不出 =ba=-b. 5、向量的向量积

定义:两个向量ab的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作bab不共线,b的模是:∣a×b=|a•|b•sina,b>;×b的方向是:垂直于ab,abb按这个次序构成右手系。若a、b共线,则=0. 向量的向量积性质: b∣是以ab为边的平行四边形面积。 ×a0 ab=〉a×b=0 向量的向量积运算律 ×=a; a)×b)=×(λb); a+b)×c=×c+×c.

注:向量没有除法,向量A/向量CD"是没有意义的. 6、向量的三角形不等式

1、∣∣a∣-b∣∣a+ba+∣b∣; 当且仅当a、b反向时,左边取等号; 当且仅当a、b同向时,右边取等号。

2、∣∣a∣b∣∣aba∣+∣b∣。 当且仅当ab同向时,左边取等号; 当且仅当a、b反向时,右边取等号。 7、定比分点

定比分点公式(向量P1P=λ•向量PP)

设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1P2的任意一点。则存在一个实数 λ使 向量PP=λ•向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比. P1x1y1),P2(x2,y2),P(xy),则有

O=(OP1+λP2)(1λ;(定比分点向量公式) x=(x+λx2)/1+λ),

y(y1λy)/1+λ)(定比分点坐标公式)

我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式 8、三点共线定理

若OC=λOA B ,λ+μ= ,则A、B、C三点共线 9、三角形重心判断式

在△ABC中,若G +G +GC=O,G为△ABC的重心 10、向量共线的重要条件

b≠0,a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使ab。 //b的重要条件是 x’—x'y=0 零向量0平行于任何向量。 11、向量垂直的充要条件

a⊥b的充要条件是 a•=.

ab的充要条件是 xx'+yy’=0。 零向量0垂直于任何向量.



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