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分式方程
【知识要点】1、分式方程的定义2、解法3、为什么验根4、解分式方程与分式的化简要区别开来，切不可混为一体。5、分式方程的应用 【典型例题】例1、解下列方程：
x11x51
（1） 0 （2）1
x35x4x4
分析：去分母把分式方程转化成整式方程，求解后验根. 解：（1）方程两边同乘以5(x3)，得 5(x1)(x3)0，解得 x=2 检验：把x=2代入方程左边， 得 ． ∵左边＝右边，
∴x=2是原方程的解． （2）方程两边同乘以(x-4)，得检验：把x=5代入方程左边， 得 ； 把x=5代入方程右边， 得
11
1． x454
（2）
3
x28x15x22x15x225
356
（x3）（x5）（x3）（x5）（x5）（x5）
方程两边同乘以（x3）（x5）（x5），得3（x5）5（x5）6（x3） 解这个整式方程，得x4
检验：当x4时，（x3）（x5）（x5)630.x4是原方程的解.
5
6
．∴
∵左边＝右边，
∴x=5是原方程的解．
点评： 1．解分式方程的思想是转化为整式方程．其一般方法是方程两边同乘以各分式的最简公分母，约去分母；2．所得结果是否为原方程的解，需要检验． 例2、解下列方程
5x412x5356（1）；（2）222.
2x423x6x8x15x2x15x25
分析：解分式方程的关键是去分母，所以化分式方程为整式方程时，要找出各分母的最简公分母，找最简公分母时，要注意把各分母按同一个字母作降幂排列，能因式分解的一定要先进行因式分解。 解： 5x412x5
（1） 2x423x6
5x412x5
2（x2）23（x2）方程两边同时乘以6（x2），得3（5x4）3（x2）2（2x5）解这个整式方程，得x2.
中小学教育资源站 1
检验：当x2时，6（x2）0，所以x2是增根，舍去.原方程无解.
点评：检验是解分式方程的必要步骤，检验的方法是将整式方程得到的根代入最简公分母检验，使最简公分母不等于0的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，应舍去。
xm1
例3、关于x的方程3m有增根，且m，求m的值.
x11x34m
原方程有增根，说明增根为x1。可解关于x的字母系数方程，得x，分析：
3m1
然后再令x1，即可求出m的值。
解： x3mm
x11x
方程两边同时乘以（x1），得x3m（x1）m. 整理，得（3m1）x4m
14m
m3m10x
33m1
原方程有增根，
4m
x1，即1，解得m1 3m1 当m1时，原方程有增根.
ABx3
例4、若=+，求A、B的值.
(x1)(x1)x1x1
分析：本题把一个真分式化成两个部分分式之和的形式，这里A和B都是待定系数，待定系数可根据对应项的系数来求解. 解：右式通分，得
x3A(x1)B(x1)
=.
(x1)(x1)(x1)(x1)
因为左右恒等且分母相同，故分子应恒等，即x－3≡A（x－1）+B（x+1） 所以x－3=（A+B）x+（－A+B） 由对应系数相等，得
AB1A2
解得
AB3B1
所以A=2，B=－1
例5、.某工人原计划若干天内生产840个零件，开始4天按原计划进行生产，以后每天生产的零件比原计划增加了25%，结果提前2天完成了任务.求原计划多少天完成任务？
例6、抗洪抢险，需要在一定时间内筑起拦洪大坝．甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成．现甲、乙队合作2天后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需要多少小时？
例7、A、B两地相距50千米，甲骑自行车从A地出发到B地，出发1小时30分后，乙骑摩托车也从A地到B地，结果乙比甲先到1小时，已知乙的速度是甲的速度的2.5倍，求甲、乙两人的速度。
【中考链接】
1．（2005年上海）解方程：
xx28
2
x2x2x4
2．（2005年天津市）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答；也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，，只需按照解答题的一般要求，进行解答。
李明计划在一定日期内读完200页的一本书，读了5天后改变了计划，每天多读5页，结果提前一天读完，求他原计划平均每天读几页书。 解题方案
设李明原计划平均每天读书x页， 用含x的代数式表示：
（Ⅰ）李明原计划读完这本书需用______________天；
（Ⅱ）改变计划时，已读了______________页，还剩______________页；
（Ⅲ）读了5天后，每天多读5页，读完剩余部分还需________________天； （Ⅳ）根据问题中的相等关系，列出相应方程_________________________________;
（Ⅴ）李明原计划平均每天读书___________页（用数字作答） 3．（2005年吉林省）某林场计划在一定期限内固沙造林240公顷，实际每天固沙造林的面积比原计划多4公顷，结果提前5天完成任务。设原计划每天固沙造林x公顷，根据题意列方程正确的是（ ）
240240240240240240240240（A） （B） （C） （D） 5555
xx4xx4xxxx4
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4．（2005年沈阳市）解方程：
63
1
(x1)(x1)x1
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2022-03-25
