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第七章 实数的完备性
§1 关于实数集完备性的基本定理
[教学目的] 理解区间套定理,聚点定理,致密性定理,有限覆盖定理的条件和结论.理解这些定理的含意及关
系,了解各定理的证明思路．
[教学要求] (1) 掌握和运用区间套定理、致密性定理；
(2)掌握聚点定理和有限覆盖定理的证明与运用．
[教学重点] 区间套定理和致密性定理． [教学难点] 掌握聚点定理和有限覆盖定理． [教学方法] 系统讲授法． [教学程序]
一 区间套定理与柯西收敛准则
1 区间套定义
定义1 设闭区间列{ [ an , bn ] }具有如下性质： ⅰ） 对 n, 有 [ an1 , bn1 ][ an , bn ], ⅱ） bnan0, (n).
则称该闭区间序列为闭区间套, 简称为区间套 . 区间套还可表达为:
a1a2anbnb2b1 , bnan0, (n).
我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列{ an }和 { bn }, 其中{ an }递增,{ bn }递减.
( 1 )n2111
, 1 ] }、 例如 { [ , ] }和{ [ 0 , ] } 都是区间套. 但 { [ 1nnnnn
111
{ ( 0 , ] } 和 { [ , 1 ] } 都不是.
nnn
2区间套定理
定理7.1(区间套定理) 设{ [ an , bn ] }是一闭区间套. 则在实数系中存在唯一的点 , 使对 n有
[ an , bn ]. 简言之, 区间套必有唯一公共点.
推论：若[an,bn](n1,2,)是区间套{ [ an , bn ] }所确定点，则对0,N0,使当nN时有：[an,bn](,)．
3 Cauchy收敛准则
数列{an}收敛的充要条件是：0,N,使当m,nN时，有anam．
94
二 聚点定理与有限覆盖定理
1 聚点定义
1）定义2 设E是无穷点集. 若在点(未必属于E)的任何邻域内有E的无穷多个点, 则称点为E的一个聚点.
数集 E={ }有唯一聚点 0, 但 0E; 开区间 ( 0 , 1 )的全体聚点之集是闭区间[ 0 , 1 ];
设Q是[ 0 , 1 ]中全体有理数所成之集, 易见Q的聚点集是闭区间 [ 0 , 1 ]. 2）等价定义
1n
2 聚点定理
定理 7.2 ( Weierstrass ) 实轴上任一个有界无限点集s至少有一聚点. 推论（致密性定理）任一有界数列必有收敛子列. 例： 用致密性定理证明Cauchy收敛准则的充分性．
三 有限覆盖定理
定义3 设S为数轴上的点集，H为开区间的集合，若S中任何一点都含在H中至少一个开区间内，则称H为S的一个开覆盖．若H中开区间的个数是有限（无限）的，则称H为S的有限（无限）开覆盖． 定理7.3 9(Heine–Borel 有限覆盖定理) 设H为闭区间[a,b]的（无限）开覆盖，则从H中可选出有限区间覆盖[a,b]．
作业 P168 1，3，5，6
95
本文来源：https://www.wddqxz.cn/0b185d46bd1e650e52ea551810a6f524ccbfcb71.html
2023-02-17
