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三角形内角平分线定理的多种证明方法
四川省资阳市雁江区南津中学 陈 彬
一、三角形内角平分线定理的多种证明方法
已知，如图 1，AM为△ ABC的角平分线，求
证
AB／AC=MB／MC
方法一：（面积法）
证明：三角形 ABM面积 S=(1/2)*AB*AM*sin ∠BAM, 三角形 ACM面积 S=(1/2)*AC*AM*sin ∠CAM, 所以三角形 ABM面积 S：三角形 ACM面积 S=AB:AC
又三角形 ABM和三角形 ACM是等高三角形，面积的比等于底的比，
即三角形 ABM面积 S：三角形 ACM面积 S=BM:CM，所以 AB／AC=MB／MC 方法二（相似形）
证明：如图 2，过 C 作 CN平行于 AB交 AM的延长线于 N 三角形 ABM相似三角形 NCM, AB/NC=BM/CM,
又可证明∠ CAN=∠ANC，所以 AC=CN，所以 AB／AC=MB／MC 方法三（相似形）
证明：如图 3，过 M作 MN平行于
可得三角形 ABC相似三角形 NMC, 故 AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC， 又可证明∠ CAM=∠AMN
所以 AN=MN，所以 AB/AC=AN/NC， 所以 AB／AC=MB／MC
如图 3
方法四（正弦定理）
如图 1
如图 2
AB交
AC于 ， N
证明：如图 4，作三角形的外接圆， AM 交圆于 D， 由正弦定理，得： AB/sin ∠BMA=BM/sin∠BAM, AC/sin ∠CMA=CM/sin∠CAM
又∠ BAM=∠CAM，∠ BMA+∠AMC=180
sin ∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC, 所以 AB／AC=MB／MC
如图 4
二、三角形内角平分线定理的应用
阅读下面材料，按要求完成后面作业。
三角形内角平分线性质定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
已知：如图 1，△ ABC中， AD 是角平分线， 求证：
= 。
分析：要证
=
，一般只要证 BD、DC与 AB、AC或 BD、AB 与 DC、AC所在的三角形相似，现在 B、D、
C在一条直线，△
ABD 与△ ADC不相似，需要考虑用别的方法换比。在比例式
=
中， AC 恰好是 BD、
DC、AB 的第四比例项，所以考虑过
CCE∥AD 交 BA的延长线作 于
E，从而得 BD、DC、AB 的第四比例项 AE，
这样，证明
= ，就可转化证 = 。
（ 1）完成证明过程：证明：
（ 2）上述证明过程中，用到了哪些定理（写对两个即
可）答：用了：① ____________；② _____________。
（3）在上述分析和你的证明过程中，主要用到了下列三种数学思想的哪一种：
①数形结合思想
②转化思想 ③分类讨论思想 答： ____________。
（4） 用三角形内角平分线定理解答问题：
如图 2，△ ABC中， AD 是角平分线， AB=5cm，AC=4cm，BD=7cm，求
BC之长。
本文来源：https://www.wddqxz.cn/09d1b68fa617866fb84ae45c3b3567ec112ddca6.html
2024-03-10
