不完全归纳法

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6.3 数学归纳法 （第一课时）

一、教学目标： （一）知识目标：

了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． （二）情感目标：

进一步培养严谨的科学思维品质，让学生初步认识有限与无限的辩证关系，感悟数学的理性精神，欣赏数学的美与理． （三）能力目标：

培养“大胆猜想，小心求证”的科学思维品质，培养发现问题与提出问题的数学意识，培养数学学习中的合作交流的能力，使学生初步掌握由归纳到猜想再到证明的数学思想方法．

二、教学重点

掌握数学归纳法证明题目的步骤，掌握数学归纳法的一些应用． 三、教学难点

应用数学归纳法第二个步骤中从k 到k+1的变化情况分析． 四、教学过程 （一）引入课题

将课前准备好的多米诺骨牌摆好并进行演示，观察其中出现的“多米诺现象”：推倒头一块骨牌，它会带倒第二块，再带倒第三块，……，直到所有骨牌全部倒下．

假设多米诺骨牌有无穷多块，在摆多米诺骨牌时，怎样才能保证所有的骨牌一块接一块地倒下？

学生：首先必须推倒第一块，接着是假如前面一块倒下，要保证它倒下时会撞倒下一块．这两个条件满足了，全部的骨牌都将倒下．

教师：生活中还有许多现象与“多米诺现象”类似，也都可以提出同样的问题并作出相同的回答，例如：在燃放鞭炮时怎样才能保证所有的鞭炮逐个地全部燃爆？在一列队伍中传达口令，怎样才能保证口令能从第一个士兵开始逐个传遍整个队伍？

（二）传授新知：

,假教师：现在我们把骨牌想象为一系列无穷多个编了号的命题：P1,P2,P3,

定我们能够证明最初的一个命题P1正确（奠基）；由每一个命题Pk的正确性都可以推出它的下一个命题Pk1的正确性（过渡）．那么我们便证明了这一系列命题的正确性．请将这个过程与多米诺现象进行类比．

在数学中这种证明问题的方法称为数学归纳法．在数学中采用数学归纳法证明与自然数有关的命题时，有以下两个步骤： 第一步，证明n1时命题成立；

第二步，证明：如果nk时命题成立，那么nk1时命题也成立．

根据以上两步可以断定，命题对任何正整数n都成立．

１．用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列，那么ana1(n1)d对一切nN都成立．

【证明】（1）当n1时，左边＝a1，右边＝a10da1，等式成立；


（2）假设当nk时，等式成立，即aka1(k1)d， 那么ak1akd[a1(k1)d]da1[(k1)1]d．

这表明，当nk1时，等式也成立． 根据（1）、（2）可以断定，等式对任何正整数都成立． 教师：在例1解题过程中，根据（1），再根据（2），n1时等式成立；n112时等式也成立．由于n2时等成立．再根据（2），n213时等式也成立．这样递推下去，就知道n4,5,6,…时等式都成立，即等式对任何nN都成立．请归纳出以上的证明步骤．

学生：用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤是： （1）证明当n取第一个值n0（例如n01或2等）时结论正确；

（2）假设当nk（kN,且kn0)时结论正确，证明当nk1时结论也正确．

在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都正确．

正确使用数学归纳法证明一个数学问题，关键是在第二个步骤，只有应用了假设条件去推理，证明过程才是有效的，没有应用假设条件的证明过程并不是在使用数学归纳法．

教师：数学归纳法的思想可以远推至欧几里得﹝前330-前275﹞．严格的数学归纳法是在16世纪后期才引入的．1575年意大利数学家、物理学家莫洛克斯﹝1494-1575﹞在他的《算术》一书中明确提出了这一方法，并且用它证明了“135(2n1)n2”等；法国著名数学家帕斯卡﹝1623-1662﹞承认莫洛克斯引用了这方法，并在他的著作《三角阵算术》中运用了这一方法．因此，一般认为帕斯卡是数学归纳法的主要发明人．由于帕斯卡还没有表示任意自然数的符号，因此组合公式及证明只能用叙述的方法，1686年J‧伯努利首先采用了表示任意自然数的符号，在他的名著《猜度术》﹝1713﹞中包含运用数学归纳法证题的出色例子．“数学归纳法”这个名称及数学归纳法的证题形式是德‧摩根﹝1806-1871﹞所提出的．皮亚诺﹝1858-1932﹞的自然数公理中包含了归纳原理．

（三）讲解例题：

1

１.用数学归纳法证明：123nn(n1)．

2

【证明】（1）当n1时，左边＝1，右边＝1，等式成立；

1

（2）假设当nk时，等式成立，即123kk(k1)，

2

1

那么123k(k1)k(k1)(k1)

2

11

(k1)(k2)(k1)[(k1)1]． 22

这表明，当nk1时，等式也成立． 根据（1）、（2）可以断定，等式对任何正整数都成立． ２．求证对于任何非负整数n，都有2nn1． 【证明】（1） 当n0时，20101，不等式成立． （2）设当nk时，2kk1．

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