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正弦定理、余弦定理及应用
一．正弦定理 1、正弦定理及其变形
设三角形三边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，则有
abc(1)＝＝＝2R； sinAsinBsinC
(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
abc
(3)sinA＝，sinB＝，sinC＝；
2R2R2R(4)a：b：c＝sinA
：sinB
：sinC
2．三角形面积公式 1(1)S＝a·h(h表示a边上的高)；
2aa111
(2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA.
222二、余弦定理
1、余弦定理及其变形
（1）a2＝b2＋c2－2bccosA b2＝a2＋c2－2accosB c2＝a2＋b2－2abcosC
b2＋c2－a2a2＋c2－b2a2＋b2－c2
（2）cosA＝ cosB＝ cosC＝
2bc2ac2ab
题型一 正、余弦定理的基本应用
π1
例1 如图，在△ABC中，B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.
37(1)求sin∠BAD； (2)求BD，AC的长
例2、在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且3a＝2csinA. (1)确定角C的大小；
(2)若c＝7，且△ABC的面积为 ，求a＋b的值． 变式练习
1、如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝ ，AB＝32，AD＝3，则BD的长
为________.
2、在△ABC中，a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，若a2,C
题型二 判断三角形的个数
4
,cos
B25,求△ABC的面积S. 25
bsin A
已知a、b和A解三角形为例，从两个角度予以说明：由正弦定理得sin B＝，
absin A①若>1，则满足条件的三角形个数为0，即无解．
absin A②若＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解．
absin A③若<1，则满足条件的三角形个数为1或2.
a
例2 已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答． (1)a＝10，b＝20，A＝80°； (2)a＝23，b＝6，A＝30°. 变式练习
1、满足a＝4，b＝3，A＝45°的三角形ABC的个数为________．
2、△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°.若该三角形有两解，则x的取值范围是________． π
3、在△ABC中，已知c＝6，A＝，a＝2，则b＝______.
44、根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是( )
A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解 B．a＝18，b＝20，A＝60°，有一解 C．a＝5，b＝2，A＝90°，无解 D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解 题型三 利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状
例3、在△ABC中，a，b，c分别表示角A，B，C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，判断
三角形的形状．
例4、在△ABC中，已知abcabc3ab,且2cosAsinBsinC，试判断△ABC的形状。 变式练习
1、在△ABC中，若(a－ccosB)sinB＝(b－ccosA)·sinA，判断△ABC的形状．
2、在△ABC中，b＝asin C，c＝acos B，试判断△ABC的形状
3、在△ABC中，cos A＝，且(a－2)∶b∶(c＋2)＝1∶2∶3，试判断三角形的形状.
4、在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C. (1)求A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状
5. 在△ABC中，如果lgalgclgsinBlg2，并且B为锐角，试判断此三角形的形状。
题型四 正、余弦定理综合应用
例5.在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且4sin(1)求A的度数； (2)若a＝3，b＋c＝3，求b和c的值.
222
例6.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bca3bc,
2 ＋
－cos 2A＝.
（1）求A的大小；
（2）求2sinBcosCsinBC的值。 变式练习
＋
1、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2＋c2－b2＝ac.求2sin2＋sin 2B的值.
cos Acos Bsin C
2、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.
abc(1)证明：sin Asin B＝sin C； 6
(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan B.
5
3、已知向量a=( ， )，与b=(1，y)共线，设函数y=f(x)
(1)求函数f(x)的周期及最大值。
(2)已知△ABC，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若锐角A满足f(A ，且 ，
4、△ABC的内角A，B，C对的边为a，b，c，向量ma，3b与ncosA，sinB平行. （1）求角A；
（2）若a2，求sinB+sinC的取值范围.
，求△ABC
的面积。
课后练习
1、在△ABC中，若c＝2acos B，则△ABC的形状一定是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形
D.等边三角形
·2、已知△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，AC＝6.则 的值为( ) A.19
B.14
C.－18 D.－19
3.△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝( )
A.
B.
C.
D.
Ba＋c
4、在△ABC中，cos2＝，其中a、b、c分别是角A、B、C的对边，则△ABC的形状为( )
22cA．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 4．已知锐角三角形的边长分别为1,3，a，则a的范围是( )
A．(8,10) B．(22，10) C．(22，10) D．(10，8)
5.在△ABC中，若，则△ABC是________三角形. ＝＝
6、已知钝角三角形的三边BC＝a＝k，AC＝b＝k＋2，AB＝c＝k＋4，求k的取值范围． 7.在△ABC中，a·tanB=b·tanA，判断三角形ABC的形状。
8、在△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，且bsin A＝3acos B. (1)求角B；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．
9、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，p=(2a,1),q=(2b-c,cosC),且p∥q。 (1)求sinA的值；
(2)求三角函数式 的取值范围。
2
2
本文来源：https://www.wddqxz.cn/070bfb29a5c30c22590102020740be1e650ecc11.html
2022-05-24
