第四讲4、6、9倍数的特征

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第四讲

我们在三年灰巳经学习了能被2, 3, 5整除的敎的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，芥讲解能 被

4, 8, 9整除的数的特征。

因为99和9都能被9整除，所以恨摇整除的性质*1和性质2知，(8x99+3x9)能被9整除。 再根据整除的性质2,由(8+3+7)能被9整除，就能判断837能被9整除。 利用(4) (5) (6)还可以求出一个数除以4, 8, 9的余教：

(4 4) 一个教除以4的余教，与它的末阴位除以4的余敌相同。 (5‘)一个教除以8的余敎，与它的末三位除以8的余敎相同。 (6,) —个教除以9的余敎，与它的各位数宇之和除以9的余数相同。

数的笔除具有如下性质：

性质1如杲甲数能被乙数強除，乙数能被丙数養除，那么甲数一定能被丙数蛭除，例如，48能被 16整除，16能被8整除，那么48 —定能被8整除。

性质2如果网个数梆能被一个自然数密除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。 例例1在下面的数中，那些能被4整除？哪些能被8整除？那些能被(丿整除？

如，21与15部能被3整除，那么21 + 15及21J5都能被3整除。

性质3如果一个纹能分别被两个亘质的自然数聲除，那么这个数一定能被这两个亘质的自然数的 乘积整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9X7=63整除。

利用上面关于整除的性质，我们可以解决许条与整除有关的问题。为了进一步学习数的整除 性，我们把学过的和将要学习的一些整除的教宇特征列出来：

(1) 一个教的个位教宇如果是0, 2, 4, 6, 8中的一个，那么这个敎就能被2奚除。 (2) 一个教的个位教宇如果是0或5,那么这个教就能被5整除。

(3) 一个教各个数位上的数宇之和如果能袱3整除，那么这个数就能被3整除。 (4) 一个数的耒两位数如果能被4 (或25)整除，那么这个数就能被4 (或25)整除。 (5) 一个数的耒三位数如髡能被8 (或125)整除，那么这个敌就能被8 (或125)整除。 (6) 一个教各个数位上的数宇之和如果能被9整除，那么这个敎就能被9整除。

其中(1) (2) (3)是三年饭学过的内容，(4) (5) (6)是本讲要学习的内容。

因为100能被4 (或25)整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4 (或25)整除。因 为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这 个数的后两位数能被4 (或25)整除，这个数就能被4 (或25)整除。这就证明了(4)。

类似地可以证明(5) o

(6)的正确性，我们用一个具肚的数来说明一般性的证明方法。

837=800 + 30+7 = 8X100+3X10+7 =8X (99+1) +3X (9+1) +7 = 8X99+8+3x9 + 3+7 =(8X99 + 3X9) + (8+3+7)。

234, 789, 7756, 8865, 3728.8064。

解：能被4整除的敎有7756, 3728, 8064; 能被8整除的数有3728, 8064； 能被9整除的教有234, 8865, 8064。

例2在四位教％口2中，被盖佐的+位数分别等于几时，这个四位数分别能被9, 8, 4整除？ 解：如果

56口2能被9整除，那么

5+6+□+2= 13+口

应能被9整除，所以当十位敌是5,即四位数是5652时能被9整除；

如果56口2能被”整除，那么6口2应能被8整除，所以当十位敎是3或7,即四位敎是5632 或

3672时能被8整除；

如果5602能被4整除，那么口2应能被4整除，所以当+位数是1, 3, 5, 7, 9,即四位数 是 5612,

5632, 5652, 5672, 5692 时能被4 整除。

到现在为止，我们巳经学过能被2, 3, 5, 4, 8, 9整除的数的特征。根据整除的性质3,我 们可以把判断整除的范围进一步扩大。例如，判断一个数能否被6整除，因为6=2X3, 2与3互 质，所以如杲这个数既能被2整除又能被3整除，那么根据整涂的性质3,可判定这个敌能被6整 除。同理，判断一个敎能否被12整除，只需判断这个敎能否同时被3和4整除；判断一个敎能否 被72奚除，只需判断这个教能否同时被8和9整除；如此等等。

例3从0, 2, 5, 7四个数宇中任选三个，组成能同时被2, 5, 3整除的教，井将这些数从小到大 进行排列。

解：国为组成的三位敌能同时被2, 5整除，所以个位数宇为0。根据三位数能被3整除的特征， 数宇和2+7+0与5 + 7+0都能被3整除，因此所求的这些数为270, 570, 720, 750。


例4五位数A3Z9B能被卍整除，问：A与B各代表什么敎宇? 分析与解：巳矩A329B能被72整涂。因为72=8X9, 8和9是互质敎，所以“329B既能被8 整除，又能被9整除。根据能被8奚除的数的特征，妾求刁両能被8笔除，由此可确定B = 6O

再視据昵被9整除的敖的待征，A329B的各位敌宇之和为

A + 3+2+9+B = A + 3—F—2+9 + 6 = A+20,

分析与解：因为36=4X9,且4与9互质，所以这个六位教应既能被4整除又能被9整除。 六位^15ABC6能被4整除，就要厉能被4整涂，因此C可取1, 3, 5, 7, 9。

当20, B=l, C = 5时，六位敎能被36整除，而且所得商最小，为150156十36=4171。 练习4

1. 6539724能被4, 8, 9, 24, 36, 72中的哪几个教整除？ 2. 个位教是5,旦能被9整除的三位数共有各少个？

3・一些四位数，百位上的敌宇都是3,十位上的数宇都是6,并且它们既能被2整除又能被3 整

因为1WAW9,所以21WA + 20W29。在这个范围内只有27能被9整除，所以A = 7e

解咨例4的关犍是把72分解成8X9,再分别根据能被8和9整除的敖的待征去讨论B和A所代 表的数宇。在解题顺序上，应先确定B所代表的数宇，E1为B代表的数宇不受八的取道大小的影 响，一旦

B代表的教宇确定下来，A所代表的教宇就容易确定了。

除。在这样的四位敎中，垦大的和最小的各是务少？

4. 五位^4A97A能被12整除，求这个五位敌。

5. 有一个能被24整除的四位教口23口，这个四位教杲大是几？昊小是几？

6. 从0, 2, 3, 6, 7这五个数码中选出四个，可以组成条少个可以被8整除的没有重复数宇 的四位

例5六位3ABABA是6的倍教，这样的六位敎有条少个？

分析与解：因为6=2X3,且2与3互质，所以这个整敎既能被2整除又能被3整除。由六位教能 被2整除，推知A可取0, 2, 4, 6, 8这五个值。再由六位数能被3整除，推知

3 + A + B + A + B + A = 3+3A + 2B

敎？

7. 在123的左右各添一个数隔，使得到的五位数能被72整除。

8. 学校买了 72只小足球，发票上的总价有两个敎宇巳经辨认不清，只看到是=］67・9□元，

能被3整除，故2B能被3笔除。E可取0, 3, 6, 9这4个值。由于B可以取4个值，A可以 取5个值，題目没有要求所以符台条件的六位数共有5X4=20 （个）。

例6要使六位教15ABC6能被36整除，而且所得的商最小，问A, B, C各代表什么教宇？



你 知道每只小足球务少钱吸

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要使所得的商最小，就要使15ABC6这个六位数尽可能小。因此首先是A尽重小，其次是B

尽重卜 杲后是C尽重小。先试取20。六位敎150BC6的各位数宇之和为12+B+C。它应能

被9整除，［S此B+C=6或E+C=15。因为B, C应尽重小，所以E + C = 6,闻C只能取1, 3, 5, 7, 9,所以要使［50BC6尽可能小,应取B=l，C=5。

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