高二数学选修 谈概率中钥匙开门问题

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高二数学选修 谈概率中钥匙开门问题



在高中概率这一章的学习中，钥匙开门问题是经常碰到的问题，对于这一问题，尤其是求在钥匙放回或不放回这两种情况下第几次将门打开的概率，学生经常出错，本文对这一问题进行归纳、对比.供大家参考。

例1 某人有5把外形相同的钥匙，其中只有一把能打开房门，不幸的是他忘了是那一把，只好随意逐把试开，若每次试过的钥匙不再重复试开.求第3次将房门打开的概率.

分析 某人五次顺次拿出钥匙的结果相当于5把钥匙的一个排列，由于他每次拿哪一把是任意的，所以不同的拿钥匙的结果的可能性相同，本题是等可能事件的概率问题．

解答 第三次打开房门锁相当于第三次拿出的钥匙正好是房门钥匙。把五次顺

5次拿出钥匙的结果相当于5把钥匙的一个排列共有A5种方法；在5把钥匙的一个

排列中的第3把钥匙正好是开房门的钥匙，其它4把不能打开房门的钥匙任意排在

4第1、2、4、5的位置上.因此第3次打开房门的结果有A4种.所以恰好第三次将房4

A41

门打开的概率为P(A)5.解本题时也可以只考虑前三次的情况，将前三次顺

A55

3

次拿出钥匙的结果相当于从5把钥匙中取出3把钥匙的一个排列，共有A5种；第

三次打开房门即在3把钥匙的排列中第3把恰好是打开房门的钥匙，前面两个位置

2是从4把不能打开房门的钥匙中取2把钥匙的一个排列，共有A4种。故2

A41

P(A)3.

A55

说明 此题也可以运用条件概率求解.在B发生的条件下，A发生的概率

P(A|B)

P(AB)

.故由P(AB)P(A|B)P(B)得：5把钥匙中只有1把能打开房门，P(B)

4

，由于不5

且第三次打开房门说明前两次都没有打开房门.第一次打不开的概率为


31

，第三次打开的概率为.所以恰好第三次将43

4311

房门打开的概率为P(A)。

5435

变1 若每次试过的钥匙又放回，求第3次将房门打开的概率。 解答 每次试过的钥匙又放回，所以每次从5把钥匙中任取1把去开门是相互独立的.第三次将房门打开说明第三次在5把钥匙中任意取一把且取到的恰好是打

1

开房门的钥匙，于是其概率为。

5

综上，把钥匙的把数推广到n则在放回或不放回的条件下，若n把钥匙中恰好

1

只有一把可以打开房门的钥匙，那么第k次将房门打开的概率都是。

n

变2 若每次试过的钥匙又放回，求恰好第3次将房门打开的概率。

解答 恰好第三次打开房门锁说明前两次都没有打开房门.又每次试过的钥匙放回，所以每次从5把钥匙中任取1把去开门是相互独立的.恰好取到能打开房门

14

的钥匙的概率为，取不到的概率为.故恰好第3次将房门打开的概率为：

55

44116

P(A)。

555125

放回，第二次仍然打不开的概率为

说明 变1和变2的区别在于“恰好”两字.有“恰好”，说明前面的k1(kN*)次都没有将门打开，恰好在第k次将门打开了.也可以把钥匙把数推广到n，恰好第

n1k11

k次将房门打开的概率P(A)()

nn

例2 如果5把钥匙中有2把可以开房门的钥匙，随意逐把试开，且每次试过的钥匙不再重复试开.那么第3次打开房门的概率是多少？

解答 第三次打开房门锁相当于第三次拿出的钥匙正好是2把房门钥匙中的一把，或者说在5把钥匙的一个排列中第3把钥匙正好是二把能开房门的钥匙之一. （这里只强调第3次取的这把钥匙能开房门，而前面或后面取的钥匙是否能打开房

14

C2A2

门不去关心），故 P(A)54

A55

变1 如果5把内有2把可以开房门的钥匙，且每次试过的钥匙不再重复试

开.那么恰好第3次打开房门的概率是多少？

解答 恰好第3次打开房门，说明前2次都没有打开房门，则在5把钥匙的一个排列中第3把钥匙正好是二把能开房门的钥匙之一，且另一把必须排在第4或第5把的位置。


113C2C2A31

P(A). 5

A55

变2 如果5把内有2把可以开房门的钥匙，且每次试过的钥匙又放回.那么第

3次打开房门的概率是多少？

解答 每次试过的钥匙放回，所以每次从5把钥匙中任取1把去开门是相互独

23

立的.又每次恰好取到能打开房门的钥匙的概率为，取不到的概率为.故与例1

55

2

变1类似，第3次将房门打开的概率为.

5

变3 如果5把内有2把可以开房门的钥匙，且每次试过的钥匙又放回.那么恰好第3次打开房门的概率是多少？

33218

解答 P(A).

555125

综上，设n把形状相同的钥匙中有m把可以打开房门，每次随意任取一把试开：

1n1

CmAn1m

（1）若每次试开后不放回，则第k次打开的概率为P(A).或者n

Ann1k1

CmAn1m

P(A).（2）若每次试开后不放回，则恰好第k次打开的概率为k

Ann1m1nm1k1CmAnkAnmCmAnm

或者P(A).P(A).（3）若每次试开后放回，则第k次打开的nk

AnAn

m

.（4）若每次试开后放回，则恰好第k次打开的概率为n

nmk1m

P(A)().

nn评注：在解答概率问题时，题中条件稍有变化，解的方法以及结果就大不一样，因此一定要仔细推敲，严格区分，审清题意。

概率为P(A)

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