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二项式定理(2)
一、课题:二项式定理(2)
二、教学目标:1.进一步熟悉二项式定理及二项展开式的通项公式,并能灵活的应用;
r
2.能求展开式中的第r1项的二项式系数Cn与第r1项的系数是不同的
概念。
三、教学重点、难点:二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用。 四、教学过程: (一)复习:
1.二项式定理及其特例:
0n1nrnrrnn
(1)(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN), 1rr (2)(1x)n1CnxCnxxn.
rnrr2.二项展开式的通项公式:Tr1Cnab.
(二)新课讲解:
例1 (1)求(12x)7的展开式的第四项的系数;
3
(2)求(x)的展开式中x的系数及二项式系数。
19x
3
解:(12x)7的展开式的第四项是T31C7(2x)3280x3,
∴(12x)的展开式的第四项的系数是280.
7
(2)∵(x)的展开式的通项是Tr1C9x
191r9r
()r(1)rC9rx92r,
xx∴92r3,r3,
333∴x的系数(1)3C984,x3的二项式系数C984.
4
例2 求(x3x4)的展开式中x的系数。
分析:要把上式展开,必须先把三项中的某两项结合起来,看成一项,才可以用二项式定理展开,然后再用一次二项式定理,,也可以先把三项式分解成两个二项式的积,再用二项式定理展开。
解:(法一)(x3x4)[(x3x)4]
01
C4(x23x)4C4(x23x)34
234C4(x23x)242C4(x23x)43C444,
显然,上式中只有第四项中含x的项,
33
∴展开式中含x的项的系数是C434768
24444
(法二):(x3x4)[(x1)(x4)](x1)(x4)
04132234
(C4xC4xC4xC4xC4)
04132234(C4xC4x4C4x42C4x43C444)
3433
∴展开式中含x的项的系数是C44C44768.
2
2424
- 1 -
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例3 已知f(x)12x14x (m,nN*)的展开式中含x项的系数为36,
m
n
求展开式中含x项的系数最小值。
分析:展开式中含x项的系数是关于m,n的关系式,由展开式中含x项的系数为36,
可得2m4n36,从而转化为关于m或n的二次函数求解。
1111解:12x14x展开式中含x的项为Cm2xCn4x(2Cm4Cn)x
m
n
2
2
11
∴(2Cm4Cn)36,即m2n18,
12x
m
14x展开式中含x2的项的系数为
n
2222
2Cn42m22m8n28n, tCm
∵m2n18, ∴m182n,
∴t2(182n)2(182n)8n8n16n148n612
3715337
时,t取最小值, 16(n2n),∴当n
448*2
但nN,∴ n5时,t即x项的系数最小,最小值为272,此时n5,m8.
例4 已知(x1)n的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列,
24x
(1)证明展开式中没有常数项;(2)求展开式中所有的有理项。
解:由题意:2Cn
r
8
222
1
1121Cn()2,即n29n80,∴n8(n1舍去) 22
1
r
163rrrr
1rr8rC80r8 24 ∴Tr1Cx(4)()C8xx1rx4222xrZ
①若Tr1是常数项,则163r0,即163r0,∵rZ,这不可能,∴展开
4
式中没有常数项;
8r
②若Tr1是有理项,当且仅当163r为整数,∴0r8,rZ,∴ r0,4,8,
4
即展开式中有三项有理项,分别是:T1x4,T535x,T91x2.
8256
五、课堂练习:课本第107页练习第5,6题。
六、课堂小结:1.三项或三项以上的展开问题,应根据式子的特点,转化为二项式来解决,
转化的方法通常为集项、配方、因式分解,集项时要注意结合的合理性和简捷性;
2.求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论对r的限制;求有理项时要注意到指数及项数的整数性。
七、作业:课本第143页 复习参考题十第12题,
补充: 1.已知x3a8的展开式中x的系数是ax19展开式中倒数第四项的系数的2倍,求 a,a,a,a,前n项的和;
1
2.(xx4)n的展开式中第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44,则展开式中
x
常数项。
- 2 -
2
3
n
3
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