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圆的性质及定理
圆的初步认识
一、圆及圆的相关量的定义（ 28 个）
1. 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。 2. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。 连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。
3. 顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆 周角。
4. 过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相 切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
5. 直线与圆有 3种位置关系：无公共点为相离；有 2 个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为 相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
6. 两圆之间有 5 种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公 共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有 2 个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫 做圆心距。
7. 在圆上，由 2 条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的 半径成为圆锥的母线。
二、有关圆的字母表示方法（ 7 个） 圆--O 半径一r 弧--c 直径一d 扇形弧长/圆锥母线一I 周长一C 面积一S 三、有关圆的基本性质与定理（ 27个）
1•点P与圆0的位置关系（设P是一点，贝U PO是点到圆心的距离）： P在O 0 夕卜，P0>r； P在O 0 上, PO= r； P在O O 内，PO<r。
2. 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆 心。
3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。逆定理：平分弦（不是直径） 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
4. 在同圆或等圆中，如果 2 个圆心角， 2 个圆周角， 2 条弧， 2 条弦中有一组量相等，那么他们所 对应的其余各组量都分别相等。
5. 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
6. 直径所对的圆周角是直角。 90 度的圆周角所对的弦是直径。 7. 不在同一直线上的 3 个点确定一个圆。
8. 一个三角形有唯一确定的夕接圆和内切圆。夕接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三 角形 3 个顶点距离相等；内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形 3 边距离相等。
9. 直线AB与圆O的位置关系（设OP丄AB于P,则PO是AB到圆心的距离）： AB与O O 相离，PO>r; AB 与O O 相切，PO= r； AB 与O O 相交，PCX r。
10. 圆的切线垂直于过切点的直径；经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线，是这个圆的 切线。
11. 圆与圆的位置关系（设两圆的半径分别为 R和r，且R>r圆心距为P）： 外离 P> R+r；外切 P=R+;相交 R-rv Pv R+r；内切 P=R-;内含 Pv R-r。 四、有关圆的计算公式
1•圆的周长C=2冗r= nd 2•圆的面积S=n r? 3•扇形弧长l=n n r/180 4.扇形面积S=nn r??/360=rl/2 5•圆锥侧面积S=n rl 五 圆的方程 1. 圆的标准方程
在平面直角坐标系中，以点O（a,b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是
（x-a）A2+（y-b）A2=rA2
2. 圆的一般方程
把圆的标准方程展开 ,移项 ,合并同类项后 ,可得圆的一般方程是 xA2+yA2+Dx+Ey+F=0
和标准方程对比，其实D=-2a,E=-2b,F=aA2+bA2
相关知识：圆的离心率e=0.在圆上任意一点的曲率半径都是r. 六 圆与直线的位置关系判断 链接：圆与直线的位置关系 (一.5)
平面内，直线Ax+By+C=O与圆xA2+yA2+Dx+Ey+F=0勺位置关系判断一般方法是 讨论如下 2 种情况 ：
⑴由 Ax+By+C=O可得 y=(-C-Ax)/B,其中 B 不等于 0], 代入xA2+yA2+Dx+Ey+F=0^P成为一个关于x的一元二次方程f(x)=0.
利用判别式bA2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下： 如果bA2-4ac>0,则圆与直线有2交点，即圆与直线相交
如果bA2-4ac=0,则圆与直线有1交点，即圆与直线相切 如果bA2-4ac<0,则圆与直线有0交点，即圆与直线相离
(2)如果B=0即直线为Ax+C=0即x=-C/A它平行于y轴(或垂直于x轴) 将 xA2+yA2+Dx+Ey+F=化为(x-a)A2+(y-bF2=rA2
令y=b,求出此时的两个x值x1,x2并且我们规定x1当x=-C/A或x=-C/A>x2时,直线与圆相离 当xlvx二C/A时，直线与圆相交
当x=-C/A=x1或x=-C/A=x2时,直线与圆相切
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2022-07-04
