圆的性质及定理

2022-07-04 14:42:16   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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定理,性质


圆的性质及定理

圆的初步认识

一、圆及圆的相关量的定义( 28 个)

1. 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心,定长称为半径。 2. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧。 接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。

3. 顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆 角。

4. 过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相 的圆叫做这个三角形的内切圆,其圆心称为内心。

5. 直线与圆有 3种位置关系:无公共点为相离;有 2 公共点为相交;圆与直线有唯一公共点为 相切,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点。

6. 两圆之间有 5 种位置关系:无公共点的,一圆在另一圆之外叫外离,在之内叫内含;有唯一公 共点的,一圆在另一圆之外叫外切,在之内叫内切;有 2 公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫 圆心距。

7. 在圆上,由 2 条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的 半径成为圆锥的母线。

二、有关圆的字母表示方法( 7 个) --O 半径一r --c 直径一d 扇形弧长/圆锥母线一I 周长一C 面积一S 三、有关圆的基本性质与定理( 27个)

1•P与圆0的位置关系(设P是一点,贝U PO是点到圆心的距离): PO 0 夕卜,P0>r PO 0 , PO= r PO O 内,PO<r

2. 圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形,其对称中心是圆 心。

3. 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。逆定理:平分弦(不是直径) 直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。

4. 在同圆或等圆中,如果 2 个圆心角, 2 个圆周角, 2 条弧, 2 条弦中有一组量相等,那么他们 对应的其余各组量都分别相等。

5. 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

6. 直径所对的圆周角是直角。 90 度的圆周角所对的弦是直径。 7. 不在同一直线上的 3 个点确定一个圆。

8. 一个三角形有唯一确定的夕接圆和内切圆。夕接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点,到三 3 个顶点距离相等;内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点,到三角形 3 边距离相等。

9. 直线AB与圆O的位置关系(设OPABP,POAB到圆心的距离): ABO O 离,PO>r; AB O O 相切,PO= r AB O O 相交,PCX r

10. 圆的切线垂直于过切点的直径;经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线,是这个圆的 线。

11. 圆与圆的位置关系(设两圆的半径分别为 Rr,且R>r圆心距为P): 外离 P> R+r;外切 P=R+;相交 R-rv Pv R+r;内切 P=R-;内含 Pv R-r 四、有关圆的计算公式

1圆的周长C=2r= nd 2圆的面积S=n r? 3扇形弧长l=n n r/180 4.扇形面积S=nn r??/360=rl/2 5圆锥侧面积S=n rl 圆的方程 1. 圆的标准方程

在平面直角坐标系中以点Oa,b为圆心r为半径的圆的标准方程是






x-aA2+y-bA2=rA2

2. 圆的一般方程

把圆的标准方程展开 ,移项 ,合并同类项后 ,可得圆的一般方程是 xA2+yA2+Dx+Ey+F=0

和标准方程对比其实D=-2a,E=-2b,F=aA2+bA2

相关知识圆的离心率e=0.在圆上任意一点的曲率半径都是r. 圆与直线的位置关系判断 链接圆与直线的位置关系 (.5)

平面内直线Ax+By+C=O与圆xA2+yA2+Dx+Ey+F=0勺位置关系判断一般方法是 讨论如下 2 情况

⑴由 Ax+By+C=O可得 y=(-C-Ax)/B,其中 B 不等于 0], 代入xA2+yA2+Dx+Ey+F=0^P成为一个关x的一元二次方程f(x)=0.

利用判别式bA2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下 如果bA2-4ac>0,则圆与直线有2交点即圆与直线相交

如果bA2-4ac=0,则圆与直线有1交点即圆与直线相切 如果bA2-4ac<0,则圆与直线有0交点圆与直线相离

(2)如果B=0即直线为Ax+C=0x=-C/A它平行于y(或垂直于x) xA2+yA2+Dx+Ey+F=(x-a)A2+(y-bF2=rA2

y=b,求出此时的两个xx1,x2并且我们规定x1x=-C/Ax=-C/A>x2,直线与圆相离 xlvxC/A直线与圆相交

x=-C/A=x1x=-C/A=x2,直线与圆相切




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