圆的方程讲义

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圆的方程

知识梳理：

一、圆的标准方程

1．平面内到定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆，定点是圆心，定长是半径． 2．确定圆的几何要素：

(1)不共线三点确定一个圆，圆心在任意两点连线段的中垂线上，三点确定的三角形叫该圆的内接三角形，该圆叫做这个三角形的外接圆，圆心叫做三角形的外心．

(2)圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，只要圆心和半径确定下来，圆也就确定下来了，因此求圆的方程必须具备三个独立条件．

3．圆心为(a，b)半径为r(r>0)的圆的方程为：(x－a)＋(y－b)＝r，称作圆的标准方程．特别地，圆心在原点、半径为r的圆方程为x＋y＝r. 4．点P(x0，y0)与圆(x－a)＋(y－b)＝r的位置关系．

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P在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2， P在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2， P在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.

二、圆的一般方程

D2E2D＋E－4F.

1．圆的一般方程x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0，配方得x＋＋y＋＝

422

2

2

22

E122D22

(1)当D＋E－4F>0时，方程表示以－，－为圆心，D＋E－4F为半径的圆；

222

22

(2)当D＋E－4F＝0时，方程表示一个点－，－；

22

(3)当D＋E－4F<0 时，方程没有实数解，它不表示任何图形．

2．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是：A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4F>0 .

3．点P(x0，y0)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的位置关系是： P在圆内⇔P在圆上⇔ P在圆外⇔

4．求轨迹方程的五个步骤：

(1)建系：建立适当的坐标系，用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标； (2)设点：写出适合条件P的点M的集合P＝{M|p(M)}； (3)列式：用坐标(x，y)表示条件p(M)，列出方程F(x，y)＝0； (4)化简：化方程F(x，y)＝0为最简形式；

(5)查漏、剔假：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．



， ， .

2

2

DE




典型例题：

类型一 圆的标准方程

例1：写出下列方程表示的圆的圆心和半径．

2222

(1)x＋y＝2； (2)(x－3)＋y＝4；

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(3)x＋(y－1)＝9； (4)(x＋1)＋(y＋2)＝8.

练习1：已知圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，试根据下列条件，分别写出a、b、r应满足的条件：

(1)圆心在x轴上； (2)圆与y轴相切；

(3)圆过原点且与y轴相切； (4)圆与两坐标轴均相切．

练习2：已知圆C的方程为x5y610，试判断点M6,9,N3,3,Q5,3是在圆上，

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圆内，还是在圆外？

例2：过两点P(2,2)、Q(4,2)，且圆心在直线x－y＝0上的圆的标准方程是( )

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A．(x－3)＋(y－3)＝2 B．(x＋3)＋(y＋3)＝2

C．(x－3)＋(y－3)＝2 D．(x＋3)＋(y＋3)＝2

练习1：求经过点A(10,5)、B(－4,7)，半径为10的圆的方程．

练习2：求满足下列条件的方程

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（1）圆心在原点，半径是3； （2）圆心在点C3,4上，半径半径是5； （3）圆心在直线5x3y8上，又圆与坐标轴相切

练习3：求以A(2,2)、B(5,3)、C(3，－1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程．

类型二 圆的一般方程

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例3：m是什么实数时，关于x、y的方程(2m＋m－1)x＋(m－m＋2)y＋m＋2＝0表示一个圆？

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练习1：已知方程x＋y＋2mx－2y＋m＋5m＝0表示圆，求： (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径．

练习2：xyxyR0表示一个圆，则R的取值范围是（ ） A．,2 B．,2 C．,

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

11

, D． 22





例4：已知△ABC的三个顶点为A(1,4)、B(－2，3)、C(4，－5)，求△ABC的外接圆的一般方程．

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