立体几何教案

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立体几何教案

1、空间一点位于不共线三点、、所确定的平面内的充要条件是存在有序实数组、、、,对于空间任一点,有且(时常表述为:若且,则空间一点位于不共线三点、、所确定的平面内。)

2、若多边形的面积为,它在一个平面上的射影面积为,若多边形所在的平面与这个平面所成的二面角为,则有。(射影面积公式,解答题用此须作简要说明)

3、经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。

4、过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条;过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个。

5、经过两条异面直线中的一条,只有一个平面与另一条直线平行。 6、三个两两垂直的平面的交线两两垂直。 7、对角线相等的平行六面体是长方体。

8、线段垂直平分面内任一点到这条线段两端点的距离相等。 9、经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线,设它和已知角两边的夹角为锐角且相等,则这条斜射线在这个平面内的射影是这个角的平分线。(斜射线上任一点在这个平面上的射影在这个角的平分线上) 10、如果一个角所在平面外一点到这个角两边的距离相等,那么这点在平面上的射影,在这个角的平分线上。(解答题用此须作简要证明) 11、若三棱锥的三条侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等,那么顶点在底面上的射影是底面三角形的外心。


(1)当底面三角形为直角三角形时,射影落在斜边中点上。 (2)当底面三角形为锐角三角形时,射影落在底面三角形内。 (3)当底面三角形为钝角三角形时,射影落在底面三角形外。

12、如果三棱锥的三个侧面与底面所成的二面角都相等或三棱锥的顶点到底面三条边距离都相等(顶点在底面上的射影在底面三角形内),那么顶点在底面上的射影是底面三角形的内心。

13、如果三棱锥的三条侧棱两两垂直,或有两组对棱垂直,那么顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心。

14、若平面、平面、平面两两互相垂直,那么顶点在平面内的射影是三角形的垂心。

15、棱长为的正四面体的对棱互相垂直,对棱间的距离为。(该间距为小棱切球之直径)

16、设正四面体的棱长为,高为,外接球半径为,内切球半径为,棱切球(与各条棱都相切的球,正四面体中存在两个这样的球)半径为,体积为,则: ,,,或,

17、设正方体的棱长为,正方体的内切球、棱切球(与各条棱都相切的球)、外接球的半径分别为、、,则,,。

18、若二面角的平面角为,其两个面的法向量分别为、,且夹角为,则或()。 19、点到平面的距离:(其中为垂足,为斜足,为平面的法向量)。 20、证明两平面平行:

(1)若平面、的法向量、共线,则;

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