1990年考研数学三真题及答案

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1990年考研数学三真题及答案



一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1) 极限lim(n3nnn)_________.

n

(2) 设函数f(x)有连续的导函数,f(0)0,f(0)b,若函数

f(x)asinx

,x0,

F(x)x

A,x0

在x0处连续,则常数A=___________.

(3) 曲线yx与直线yx2所围成的平面图形的面积为_________.

2

x1x2a1,

xxa,232

(4) 若线性方程组有解,则常数a1,a2,a3,a4应满足条件________.

xxa,334x4x1a4

80

(5) 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为,则该射手的命

81

中率为________. 二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设函数f(x)xtanxe

sinx

,则f(x)是 ( )

(A) 偶函数 (B) 无界函数 (C) 周期函数 (D) 单调函数 (2) 设函数f(x)对任意x均满足等式f(1x)af(x),且有f(0)b,其中a,b为非零常

数,则 ( ) (A) f(x)在x1处不可导 (B) f(x)在x1处可导,且f(1)a (C) f(x)在x1处可导,且f(1)b (D) f(x)在x1处可导,且f(1)ab (3) 向量组1,2,

(A) 1,2,(B) 1,2,(C) 1,2,

,s线性无关的充分条件是 ( ) ,s均不为零向量

,s中任意两个向量的分量不成比例

,s中任意一个向量均不能由其余s1个向量线性表示




(D) 1,2,,s中有一部分向量线性无关

(4) 设A,B为两随机事件,且BA,则下列式子正确的是 ( )

(A) PABPA (B) PABPA

(C) PBAPB (D) PBAP(B)PA (5) 设随机变量X和Y相互独立,其概率分布为

m -1 1



m

-1 1

PXm



11

22

PYm

11

22

则下列式子正确的是 ( ) (A) XY (B) PXY0 (C) PXY

1

(D) PXY1 2



三、计算题(本题满分20分,每小题5分.) (1) 求函数I(x)(2) 计算二重积分

域.



x

e

lnt2

[e,e]上的最大值. 在区间dt2

t2t1

2

22y

y4xy9x,其中是曲线和在第一象限所围成的区xedxdyD

D

(x3)n

(3) 求级数的收敛域. 2

nn1



(4) 求微分方程yycosx(lnx)e

sinx

的通解.



四、(本题满分9分)

某公司可通过电台及报纸两种形式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入

R(万元)与电台广告费用x1(万元)及报纸广告费用x2(万元)之间的关系有如下经验公式:

2

R1514x132x28x1x22x1210x2.

(1) 在广告费用不限的情况下,求最优广告策略；

(2) 若提供的广告费用为1.5万元,求相应的最优广告策略.

五、(本题满分6分)

设f(x)在闭区间[0,c]上连续,其导数f(x)在开区间(0,c)内存在且单调减少；




f(0)0,试应用拉格朗日中值定理证明不等式:f(ab)f(a)f(b),其中常数a、b

满足条件0ababc.

六、(本题满分8分)

已知线性方程组

x1x2x3x4x5a,3x2xxx3x0,12345



x22x32x46x5b,5x14x23x33x4x52,

(1) a、b为何值时,方程组有解?

(2) 方程组有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系； (3) 方程组有解时,求出方程组的全部解.

七、(本题满分5分)

已知对于n阶方阵A,存在自然数k,使得A0,试证明矩阵EA可逆,并写出其逆矩阵的表达式(E为n阶单位阵).



八、(本题满分6分)

设A是n阶矩阵,1和2是A的两个不同的特征值,X1,X2是分别属于1和2的特征向量.试证明X1X2不是A的特征向量.

九、(本题满分4分)

从0,1,2,

k

,9十个数字中任意选出三个不同数字,试求下列事件的概率：

A1{三个数字中不含0和5}；A2{三个数字中不含0或5}.



十、(本题满分5分)

一电子仪器由两个部件构成,以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位:千小时),已知X和Y的联合分布函数为:

1-e0.5xe0.5ye0.5(xy),若x0,y0,

F(x,y)

0,其他.

(1) 问X和Y是否独立?

(2) 求两个部件的寿命都超过100小时的概率.

十一、(本题满分7分)

某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为72 分,96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.

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