高中数学总结归纳 单位圆中的三角函数线

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高考数学复习总结归纳点拨

单位圆中的三角函数线



三角函数线是研究三角函数的几何工具，它是数形结合思想在三角函数中的体现．它的重要作用除了准确画图，刻画三角函数的性质，直观表示三角函数的值和符号，总结三角函数值的变化规律外，还可以用来比较三角函数值的大小，证明三角不等式，解三角不等式等，并且简便易行．

一、比较三角函数值的大小

三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值．因此，比较两个三角函数值的大小，可以借助三角函数线．

45

例1 比较大小：①sin1和sin1.5；②cosπ和cosπ．

77解：①Q011.5

π

，由正弦线可知：sin1sin1.5； 2

4545

②Qπππ，由余弦线可知：cosπcosπ（此时余弦线方向向左）．

7777二、证明三角不等式

数形结合的“形”不仅仅是指三角函数图象，三角函数线有时比图象能更好的解决问题． 例2 设为锐角，求证：1sincos

π

． 2

解：如图1，在直角坐标系中作出单位圆，设角的 终边为OP，过P作PQOx于Q，PROy于R，则sinQP，cosOQ．

Q为锐角，在△OPQ中，QPOQOP，

sincos1． ①

11而S△OPBOB·RPcos，

22

111ππ

S△OAPOA·QPsin，S扇形OAB1．

22224又四边形OAPB被扇形OAB所覆盖， S△OPBS△OAPS扇形OAB，即sincos



1



π

． ② 2


高考数学复习总结归纳点拨

由①，②得1sincosπ2

． 三、解三角不等式 例3 解不等式sinx

12

． 解：如图2，作出正弦值等于1

2

的角x的终边，则 正弦值大于

12

的角x的终边与单位圆的交点在劣弧¼P1P2上，所以所求角x的取值范围是x|2kππ5

6x2kπ6，kZ

．



2

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