十字相乘法的图解

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例1.十字相乘法的图解及待定系数

已知二次三项式2x2-mx-20有一个因式为(x+4)，求m的值. 分析：用十字相乘法分解这个二次三项式有如下的图解：

8-5=3=-m

解：2x2-mx-20=(x+4)(2x-5)=2x2+3x-20 ∴-m=3 m=-3

（由例1我们应该明白，“十字相乘”法，并非凭空而来，也没有

什么新东西—— 像不像？只要懂(ax+b)(cx+d)，就懂

“十字相乘”，这样，十字相乘中各数的意义，你记得更清楚了吧？) 例2.因式分解与系数的关系

若多项式a2+ka+16能分解成两个系数是整数的一次因式的积，则整数k可取的值有( )

A.5个 B.6个 C.8个 D.4个 分析：因为二次项系数为1，所以原式可分解为(a+m)(a+n)的形式，其中mn=16，k=m+n，所以整数k可取值的个数取决于式子mn=16的情况.(其中m、n为整数)

因为16=2×8，16=(-2)×(-8) 16=4×4，16=(-4)×(-4)


16=1×16，16=(-1)×(-16) 所以k=±10，±8，±16 答案：B

(是不是有一点即通的感觉？这一层窗户纸不厚，数学要的就是心细，胆大)

例3.分组分解后再用十字相乘

把2x2-8xy+8y2-11x+22y+15分解因式 解：原式=(2x2-8xy+8y2)-(11x-22y)+15 =2(x-2y)2-11(x-2y)+15 =[(x-2y)-3][2(x-2y)-5] =(x-2y-3)(2x-4y-5)

说明：分组后运用十字相乘进行因式分解，分组的原则一般是二次项一组，一次项一组，常数项一组.本题通过这样分组就化为关于(x-2y)的二次三项式，利用十字相乘法完成因式分解. 例4.换元法与十字相乘法

把(x2+x+1)(x2+x+2)-6分解因式

分析：观察式子特点，二次项系数和一次项系数分别相同，把(x2+x)看成一个“字母”，把这个式子展开，就可以得到关于(x2+x)的一个二次三项式(或设x2+x=u，将原式化为(u+1)(u+2)-6=u2+3u-4，则更为直观)再利用十字相乘法进行因式分解. 解：(x2+x+1)(x2+x+2)-6

=[(x2+x)+1][(x2+x)+2]-6


=(x2+x)2+3(x2+x)-4 =(x2+x+4)(x2+x-1)

说明：本题结果中的两个二次三项式在有理数范围内不能再分解了，若能分解一定要继续分解，如摸底检测第3题答案应当是C. (上一次，我们说到的整体分析又用到了，还记得我们在哪提到它的？对，在分组分解法中，试比一下“分组分解”与“十字相乘”适用的题目的类型特点，从各项的次幂的次数及各项系数去分析) 例5.因式分解与十字相乘法 已知(x2+y2)(x2-1+y2)=12 求：x2+y2的值

解：(x2+y2)(x2-1+y2)=12 (x2+y2)[(x2+y2)-1]-12=0 (x2+y2)2-(x2+y2)-12=0 [(x2+y2)-4][(x2+y2)+3]=0 ∵x2+y2≥0 ∴(x2+y2)+3≠0 ∴(x2+y2)-4=0 ∴x2+y2=4

说明：我们把(x2+y2)看成一个“字母”，则原式转化为关于这个“字母”的一个一元二次方程。虽然目前还没学二次方程的解法，但通过这个题，我们可以发现，对二次三项式因式分解是解一元二次方程的方法之一.


(说“十字相乘”是冷饭，一点也不为过，炒完冷饭，尝尝味道怎样吧).

[强化练习]

1.把下列各式分解因式 (1)x-x2+42 (2)



(3)a2n+a4n-2a6n

(4)(x-y)2+3(x2-y2)-4(x+y)2 (5)x2-xy-2y2-x-y

2.已知：x2+xy-2y2=7,求：整数x、y的值 答案与提示： 1.(1)-(x-7)(x+6) (2)



(3)-a2n(an+1)(an-1)(2a2n+1) (4)-2y(5x+3y)

提示：可分别把(x-y)和(x+y)各看成一个“字母”，如设x+y=n，则原式化为m2+3mn-4n2 (5)(x+y)(x-2y-1)

提示：可参考“疑难精讲例3” 2.



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x-y=m，
提示：将已知条件的左边分解因式得： (x+2y)(x-y)=7 ∵x、y都为整数 ∴有

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