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“失”与“增”
方程的失根与增根,是解方程过程中经常出现的错误,现分析几例,对方程产生失根或增根的原因加以说明,供借鉴。
例1 (1998辽宁省中考题)方程2x(x – 3)=5(x – 3)的根是( ). 555(A)x = (B)x = 3 (C)x 1 = x 2 = 3 (D)x = -
222错解:(A)
分析:本题的错误是丢失了一根,它是由方程两边同除以(x - 3)而引起的,因为(x - 3)可以是正数、负数、零。当x - 3 = 0时,也就是说方程两边同除以零,故产生了失根。
正确解法:移项后分解因式,得(x - 3)(2x – 5)= 0 , 5
解之,得 x 1 = x 2 = 3
2故应选:(C) .
例2 (2002威海市中考题 )解方程
错解:方程两边同乘以 x(x – 2),得 - x – 3(x 2 – 2x)= x – 4 , 整理后,得 3x 2 – 4x – 4 = 0 , 2
解之,得 x 1 = - x 2 = 2 .
3
分析:本题的错误是增加了一根,它是由方程两边同乘以 x(x – 2)而引起的,因为上述分式方程中未知数 x 的取值范围是 x≠0且x≠2,而化为整式方程后 x 的取值范围是全体实数,未知数的取值范围扩大,故产生增根。正确的解法是在上述解的步骤基础上,增加检验一步,舍去增根 x = 2 。
正确解法:(略)
例3 (2002温州市中考题)解方程组:
错解:由②两边同乘(x +1),得 y = x +1 ③,
1
- 3 = 2 - x
由③代入①,得 x+x+1 = x – 1 , 两边平方后,整理得 x 2 – 4x = 0 , 解得 x 1 = 0 x 2 = 4 ,
把x 1 = 0 ,x 2 = 4分别代入③,得 y 1 = 1 y 2 = 5 , ∴原方程组的解是
分析:本题求解过程中,未知数的取值范围两次扩大,一次是分式方程化
为整式方程,另一次是根式方程化为整式方程,有可能产生增根,因此,必须进行检验。经检验,
是增根,原方程组的解是
综上所述,产生增根的原因是由于未知数取值范围的扩大而引起的,因此,无论是分式方程还是根式方程,必须进行检验。产生失根的主要原因是方程两边所除的代数式可能等于零。因此,方程两边不要轻易的除以含有未知数的代数式。只有当所除的代数式不等于零时,才不会失根。当然,有时概念理解模糊,也会产生失根。
例4 解方程组:
错解:用(x +y)乘方程①的两边,得 (x+y)(x-y)+(x+y)将分母有理化,并整理得 (x2–y2) +
- 20 = 0 ,
=20 .
x 2 – y 2 = 16 ③ 解②、③,得四组解:
经检验,后两组不适合,是增解,舍去。程组的解为:
因此原方
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