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最短路径问题 姓名
类型一、一条直线外两个定点到直线上一动点距离之和最小的问题：
1. 一条直线异侧两个定点到直线上一动点距离之和最小，确定动点的位置。 作法：连接两个定点，交直线于一点，交点即为所求。 例1、如图，在直线l上求一点P，使PA+PB值最小． 作法：连接AB，交直线l于点P，点P即为所求。 说明：∵连接A、B两点的线中，线段最短。 ∴连接AB，交直线l于点P，此时PA+PB最小=AB
2. 一条直线同侧两个定点到直线上一动点距离之和最小，确定动点的位置。
方法：利用轴对称变换将直线同侧两个定点转化为直线异侧两个定点，然后根据“两点之间线段最短”，用例1的方法确定动点的位置。
例2、 如图，在直线l上求一点P，使PA+PB值最小． A
作法：①作点A关于直线l的对称点A’；
②连接A’B，交直线l于点P，点P即为所求。
A
lB
B
l
A
B
l
说明：连接AP、AA’，∵点A和点A’关于直线l对称， ∴直线l是AA’的垂直平分线，∴PA=PA’，∵两点之间，线段最短。 ∴此时PA+PB最小=PA’+PB=AB。
类型二、一条直线外两个定点到直线上一动点距离之差最大的问题：
1.一条直线同侧两个定点到直线上一动点距离之差最大，确定动点的位置。 例3、在直线l上求一点P，使PAPB的值最大．
作法：连接AB，并延长交直线l于点P，点P即为所求。
证明：在直线l上另取一点P’，连接P’A和P’B， ∵三角形的两边之差大于第三边， ∴P'AP'B＜AB；而连接AB，并延长交直线l于点P，此时PAPBAB，
A
lB
此时PAPB最大AB
2.一条直线异侧两个定点到直线上一动点距离之差最大，确定动点的位置。
方法：利用轴对称变换将直线异侧两个定点转化为直线同侧两个定点， 然后根据“三角形的两边之差大于第三边”，用例3的方法确定动点的位置。 例4、如图，在直线l上求一点P，使PAPB的值最大．
作法：①作点B关于直线l的对称点B’，②连接AB’，并延长交直线l于点P，点P即为所求。 说明：连接AP、AA’，∵点A和点A’关于直线l对称，∴直线l是AA’的垂直平分线∴PA=PA’， 若在直线l上另取一点P’，连接P’A和P’B， ∵三角形的两边之差大于第三边， ∴P'AP'B＜AB
∴此时PAPB最大PAPBAB
总结：“同侧差最大，异侧和最小；位置不满足，对称后再看；三点共线找交点”。 类型三、两条直线之间的区域内有一定点，两直线上各有一动点，要使连接这三点所得的三角形周长最小，确定两动点的位置。
1
例5、如图，在直线l1、l2上分别求点M、N，使△PMN的周长最小． 方法分析：利用轴对称，将定点P分别转化到两直线所夹区域的外部去 （即直线l1、，再根据“两点之间，线段最短”， l2的另一侧）
l1
P
连接点P的两个对称点，与直线l1、l2的交点即为所求。 作法：①分别作点P关于直线l1、l2的对称点PP2; 1、
1P2，交l1于M，交l2于N，点M、N即为所求。 ②连接P
l2
说明：连接MP、NP，∵点P和点P1关于直线l1对称，∴直线l1是PP1的垂直平分线，∴MP=MP1， ∵点P和点P2关于直线l2对称，∴直线l2是PP2的垂直平分线，∴NP=NP2 ，
∵两点之间，线段最短 ，∴此时PM+MN+PN最小=MP1+MN+NP2=P1P2
类型四、两条直线的之间有两个定点，两直线上各有一动点，要使连接这四点所得的四边形周长最小，确定两动点的位置。
例1、在直线l1、l2上分别求点M、N，使四边形PQMN周长最小.
方法分析：利用轴对称，将两个定点P、Q分别转化到两直线所夹区域的外部去 （即直线l1、，一侧一个点，再根据“两点之间，线段最短”， l2的另一侧）连接点P、Q的对称点，与直线l1、l2的交点即为所求。
作法：①作点Q关于直线l1的对称点Q1; ②作点P关于直线l2的对称点P1；
l1QPl2
，交l1于N，交l2于M，点M、N即为所求。1Q1 ③连接P
说明：连接MP、NQ，∵点P和点P1关于直线l2对称，∴直线l2是PP1的垂直平分线，∴MP=MP1， ∵点Q和点Q1关于直线l1对称，∴直线l1是QQ1的垂直平分线，∴NQ=NQ1，
∵两点之间，线段最短 ，∴此时PM+MN+PN最小=MP1+MN+NQ1=P1Q1
例2、如图，牧童星期天从A处赶了几只羊到草地m放羊，然后赶到小河n饮水，之后再回到B处的家，假设牧童赶羊走的都是直路，请你为他设计一条最短的路线标明放羊与饮水的位置。
2
本文来源：https://www.wddqxz.cn/fc2e1bb0316c1eb91a37f111f18583d048640f01.html
2023-03-12
