最短路径问题“两点一线”型教案

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13.4 最短路径问题 ——“两点一线”型

教学目标：

1.掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定. 2.能利用轴对称解决实际问题中路径最短的问题. 教学重点：

掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定. 教学难点：

能利用轴对称解决实际问题中路径最短的问题. 教学过程

一、复习引入

1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？



②最短，因为两点之间，线段最短

2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？



PC最短，因为垂线段最短 引入课题：“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题. 二、探究新知

问题1 已知点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得点C到点A，点B的距离的和最短？



问题2 如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得点C到点A，点B的距离的和最短？




验证： 你能用所学的知识证明AC ＋BC最短吗？

证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，

BC ＝B′C，BC′＝B′C′．

∴ AC ＋BC＝ AC ＋B′C ＝ AB′， ∴ AC′＋BC′＝ AC′＋B′C′．

在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′， ∴ AC ＋BC＜AC′＋BC′． 即 AC ＋BC 最短．

三、巩固提升

如图，△ABC是一块三角形的草坪，D、E分别是AB、AC的中点，现要在BC边上建一座凉亭P，使△PDE的周长最小，在图中作出凉亭的位置.

A

D

E

B

P

C



四、课堂小结：

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