第二章。数学模型的分类

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学习目标

（1） 了解数学建模的方法和步骤以及数学模型的分类。 （2） 具备数学建模常用思维方法及能力。

根据研究目的，对研究的过程和现象（称为现实原型或原型）的主要特征、主要关系采用形式化的数学语言，概括地、近似地表达出来的一种结构。所谓“数学化”，指的就是构造数学模型通过研究事物的数学模型来认识事物的方法，称为数学模型方法，简称为MM方法。

数学模型是数学抽象的概括的产物，其原型可以是具体对象及其性质、关系，也可以是数学对象及其性质、关系。数学建模有广义和狭义两种解释。广义的说，数学概念，如数、几何、向量、方程都可称为数学模型；狭义的说，只有反映特定问题和特定的具体事物系统的数学关系结构方式。数学模型大致可以分为两类：（1）描述客体必然现象的确定性模型，其数学工具一般是微分方程、积分方程和差分方程等；（2）描述客体或然现象的随机性模型。其数学模型方法是科学研究与创新的重要方法之一。在体育实践中常常提到优秀运动员的数学模型。如经调查统计现代的世界级短跑运动健将模型为身高1.80m左右、体重70kg左右，100m成绩10s左右或更好等。

用字母、数字和其它数学符号构成的等式或不等式，或用图表、图像、框图、数理逻辑等来描述系统的特征及其内在联系或与外界联系的模型，它是真实系统的一种抽象。数学模型是研究和掌握系统运动规律的有利工具，它是分析、设计、预报或预测、控制实际系统的基础。 知识链接

一、数学模型的分类

数学模型的种类很多，而且有多种不同的分类方法。例如：

（1） 按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微

分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型、扩展模型等。

（2） 安研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境

模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等。

（3） 按是否考虑随机因素分:确定性模型、随机性模型。 （4） 按是否考虑模型的变化分：静态模型、动态模型。 （5） 按应用离散方法或连续方法分：离散模型、连续模型。 （6） 按人们对事物发展过程的了解程度分：黑箱模型、灰箱模型、白箱模型。 白箱模型 指那些内部规律比较清楚的模型。如力学、热学、电学以及相关的工程技术问题。

灰箱模型 指那些内部规律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面都还不同程度上都还有许多工作要做的问题。如气象学、生态学、经济学等领域的模型。 黑箱模型 指一些内部规律还很少为人们所知的现象。如生命科学、社会科学等方面的问题。但由于因素众多、关系复杂、也可以简化为灰箱模型来研究。 二、数学建模的一般方法

建立数学模型的方法没有一定的模式，但一个理想的模型应该反映系统的全部重要特征，模型应具有可靠和实用性。 建模的一般方法 1. 机理分析

机理分析就是根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反应内部机


理的规律，所建立的模型常有明确的物理或现实意义。

（1） 比例分析法——建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。

（2） 代数方法——求解离散问题（离散的数据，符号，图形）的主要方法。 （3） 逻辑方法——数学理论研究的重要方法，对社会学和经济学等领域的实

际问题，在决策对策等学科中得到广泛应用。

（4） 常微分方程——解决两个变量之间的变化规律，关键是建立“瞬时变化

率”的表达式。

（5） 偏微分方程——解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。 2. 测试分析方法

测试分析方法是将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，通过测量系统的输入输出数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合的最好的模型，测试分析方法也叫做系统辨识。

（1） 回归分析法——用于对函数（fx）的一组观测值（Xi，Fi），i=1，2，···n，

确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数据统计法。

（2） 时序分析法——处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。 将这两种方法结合起来使用，即用机理分析方法建立模型的结构，用系统测试方法来确定模型的参数，也是常用的建模方法，在实际过程中用哪一种方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的来决定。机理分析法建模的具体步骤为

实际问题————抽象、简化、假设、确定变量、参数————建立数学模型并数学地、数值地求解、确定参数————用实际问题的实测数据等来检验数学模型————不符合实际则返回第二步，符合则交付使用，从而可以产生经济、社会效益。 3. 仿真和其他方法

（1） 计算机仿真（模拟）——实质上是统计估计方法，等效于抽样试验。 1） 离散系统仿真——有一组状态变量。

2） 连续系统仿真——有解析表达式或系统结构图。 （2） 因子试验法——在系统上做局部试验，再根据试验结果进行不断分析修

改，求得所需的模型结构。

（3） 人工现实法——基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标，

并考虑到系统有关因素的可能变化，人为地组成一个系统。

数学建模常用算法

（1） 蒙特卡罗（Monte Carlo）算法，该算法又称随机性模拟算法，是通过计

算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性。

（2） 数据拟合、参数估计、差值等数据处理算法，通常使用MATLAB作为工

具。

（3） 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题，常使用Lindo、

Lingo软件实现。

（4） 图论算法，这类算法可以分很多种，包括最短路、网络流、二分图等算

法，实际图论的问题可以用这些方法解决。

（5） 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算计算法。


（6） 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这

些问题时用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需要谨慎使用）

（7） 网络算法和穷举法。网络算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在

很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。

（8） 一些连续离散化方法，很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而

计算机只是别离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微、求和代替积分等方思想是很重要的。

（9） 数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值

分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写作函数进行调用）。

（10） 图像处理算法（赛题中、论文中都应该不乏图片，这些图形如何展示以

及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MATLAB处理。

三、计算机软件在数学建模中的应用。

在参加数学建模活动中，经常会使用一些计算机软件。常见的通用数学软件包包括MATLAB和Mathematica和Maple，其中MATLAB是一个高性能的科技计算软件，广泛应用于数学计算、建模、仿真和数据分析处理及工程制图。Mathematica是数值与符号计算的代表性软件。Maple以符号运算、公式推导见长。而MATLAB在数值计算、矩阵计算和图形绘制方面更有优势，因此可以结合起来使用。Lingo/Lindo是计算最优化问题的专用数学软件。Lindo用于求解线性回归和二次规划，Lingo除了具有Lindo的全部功能外，还可以用来求解非线性规划，也可以用于一些线性和非线性方程组的求解以及代数方程求根等，二者都可以求解整数规划。此外，还有统计分析软件SPSS和SAS等。

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