绥化学院《线性代数》2021-2022学年第一学期期末试卷

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绥化学院《线性代数》2021-2022学年第一学期期末试卷

一. 填空题（每小题4分，共40分）

223

1．设行列式D112, 其代数余子式A11A12A131, 则D .

2xy2．设矩阵A和B分别按列分块为A(α1,α2,α3,β)和B(α1,α3,γ,α2)，且

Aa，Bb，则行列式α2,α3,α1,βγ .

01A3. 设,f(x)

22

x101

x

0

x12, 则f(A) . 22

100



4. 设A,B满足A*BA2BA8E, 其中A020, E为单位矩阵, A*

001

为A的伴随矩阵, 则B .

5. 设A满足A2A4E0, 其中E是3阶单位阵, 则

(AE)1 .

6. 设α1(1,4,1),α2(2,1,5),α3(6,2,16),β(2,t,3), 且β可用

α1,α2,α3线性表出, 则t .

a11x11



7. 设线性方程组1a1x21有无穷多组解, 则 a .

11ax23

8. 设n阶矩阵A的元素全为1, 则A的n个特征值是 . 9. 设A,B都是3阶方阵, 且BA22A2E. 已知A是不可逆矩阵, 且

AE0,AE0, 则一个与B相似的对角矩阵为 .

22

3x32ax2x3(a0) 通过正交变换化为10.已知二次型f(x1,x2,x3)2x123x2

22

5y3标准形 fy122y2, 则 a .







1


二、计算题

1.(10分)已知向量组α1(1,4,0,2)T,α2(2,7,1,3)T,α3(0,1,1,a)T,

β(3,10,b,4)T. 求: (1) a,b取何值时, β不能用α1,α2,α3线性表出?

(2) a,b取何值时, β可用α1,α2,α3线性表出? 并写出此表示式.

x1x2x3x40,

2.（10分）设有线性方程组 2x1x2x32x40,. 已知

x(2)x(4)x4x1

2341(1,1,1,1)T是它的一个解. 求该线性方程组的通解.

3.（10分）已知矩阵A的逆矩阵为A1

111

121,求其伴随矩阵的逆矩阵113

(A*)1.

123



4.（10分）设矩阵A143有一个二重特征根, 求a的值. 并判别A是

1a5

否可以对角化?

422

5.（12分）设A242. 求正交矩阵Q和对角矩阵Λ, 使得Q1AQΛ.

224

三、证明题（8分）．设A是mn矩阵，B是nm矩阵，证明：若r(A)n，则

r(AB)r(B).









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