已知抛物线

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已知抛物线yx22xa（a0）与y轴相交于点A，顶点为M.直线

y

1

xa分别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线AM相交于2

点N.

(1)填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则

M ， ，N ， ；

(2)如图，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的面积； (3)在抛物线yx22xa（a0）上是否存在一点P，使得以

P，A，C，N

为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐

标；若不存在，试说明理由.



y C N B

A M

第（2）题

O

N′ D

x

N B

A M 备用图 P1

C O

P2

x

y

（1）M1，a1，N

14

a，a.……………4分

33

14

a，a，

33

（2）由题意得点N与点N′关于y轴对称，N

2

将N′的坐标代入yx2xa得a

131628

aaa， 93

9

，a2.……………2分 a10（不合题意，舍去）

4


3

N3，，点N到y轴的距离为3.

49

A0，，N

4

93ANyx，直线的解析式为， 3，44

它与x轴的交点为D，0，点D到y轴的距离为

9

4

9. 4

19199189

S四边形ADCNS△ACNS△ACD3.……………2分

2222416

（3）当点P在y轴的左侧时，若ACPN是平行四边形，则PN平行且等于AC，

74

a，代入抛物线的解析式， 把N向上平移2a个单位得到P，坐标为a，33

得：

7168

aa2aa 393

317

，a2， P，.……………2分 a10（不舍题意，舍去）

828

当点P在y轴的右侧时，若APCN是平行四边形，则AC与PN互相平分，

OAOC，OPON．

41

P 与N关于原点对称，Pa，a，

33

将P点坐标代入抛物线解析式得：a，a2a10（不合题意，舍去）

1

31628

aaa， 93

1555，P，．……………2分 828

1755

或，P，能使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平存在这样的点P12，

2828

行四边形．



1、（福建龙岩）如图，抛物线yax5ax4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且ACBC．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式；

（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，

A A

2

y C y

1

B

Ｍ Ｎ



x

0 1 0 1 Ｋ

1

Ｑ P3

x

P2 P1


是否存在△PAB是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．

解：（1）抛物线的对称轴x

5a5

………2分 2a2

0) B(5，4 ) C(0，4…………)（2）A(3，5分

把点A坐标代入yax25ax4中，解得a

1

……6分 6

15

yx2x4…………………………………7分

66

（3）存在符合条件的点P共有3个．以下分三类情形探索． 设抛物线对称轴与x轴交于N，与CB交于M．

过点B作BQx轴于Q，易得BQ4，AQ8，AN5.5，BM① 以AB为腰且顶角为角A的△PAB有1个：△PAB． 1

··········································································· 8分 AB2AQ2BQ2824280 ·

22222

APANABAN80(5.5)1

5

2

在Rt△ANP11中，PN

199

2

5199P， ·········································································································· 9分 122

②以AB为腰且顶角为角B的△PAB有1个：△P2AB． 在Rt△BMP22中，MP

BP22BM2AB2BM280

25295

···· 10分 

42

58295

P2··································································································· 11分 2，2 ·



③以AB为底，顶角为角P的△PAB有1个，即△P3AB．

△ABC的顶点C． 画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于P3，此时平分线必过等腰K，显然Rt△PCK过点P∽Rt△BAQ． 33作P3K垂直y轴，垂足为



P3KBQ1． CKAQ2

··································································· 13分 P3K2.5 CK5 于是OK1················································································································ 14分 P，1) ·3(2.5

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