浅谈对数的性质

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浅谈《对数》的性质

高中数学课本上关于《对数的运算》部分，除给出了《对数》的四则运算法则、《对数》的换底公式等，还给出了《对数》的四个基本性质，这四个性质是： 性质一：1的对数等于0。 即loga1=0.(a＞0，a≠1) 性质二：底的对数等于1。 即logaa=1. (a＞0，a≠1)

性质三：底的n次幂的对数等于n。 即logaan=n. (a＞0，a≠1，nR) 性质四：不等于1的正数a的logab次幂等于b. 即a

logab

=b. (a＞0，a≠1,b＞0)

这四个性质在对数的运算当中起到了很重要的作用，运用这些性质，再运用一些数学技巧，基本上都能将一些对数问题由繁化为简单。但是，我们也应该看到，有相当一部分对数题，单纯运用以上性质是相当繁的，是不简便的。为了能使一些对数的运算再简便一些，因此，我认为应该再补充四个性质，这四个性质按以上性质的排序为： 性质五：对数的底数和真数同时乘同次方，其值不变。 即

logab=loganbn (a＞0，a≠1，b＞0，n≠0)

logabnnlogab

logab 证明：loganb==n

nlogalogaaa

n

例1：求对数log解：log

8=log(

2

8的值。

2

22)

8=log226=6.

2

性质六：对数的底数和真数同时开同次方，其值不变。 即 logab=logna

n

b (a＞0，a≠1，b＞0，n≥2，nN)

n

证明：logna

n

b=

loga

logan

1

logabbnlogab 1alogaan

例2：求对数log279的值。

3

解：log279=log327

9=log33=

23

2. 3

性质七：对数的底数和真数同时取倒数，其值不变。 即 logab=log1

a

1

(a＞0，a≠1，b＞0) b


1

1blogablogb. 证明：log1=a

1logabaalogaa

loga

例3：求对数log127的值。

3

解：log127=log3

3

1

=log333=-3. 27

性质八：将对数的底数和真数交换位置，其值等于原对数的值的倒数。 即 logab=

1

(a＞0，a≠1，b＞0，b≠1)

logba

证明：logab=

logbb1

.

logbalogba

此公式又可变形为：logablogba=1 例4：求对数log32log89的值。

3

解：log32log89=log32log38例5：计算log2

9=log32log23=

23

22log32log23=. 33

3log34+log149log25125

7

解：log2

3log34+log149log25125=log43log34+log7

73

2

1

log5125 49

=1+log77

2

log55=1+（-2）

3=-2 2

事实证明，应用了补充的四个对数性质，对解相关的对数题时，会使运算简便，甚至会收到事半功倍的效果。

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