高中数学_函数周期性总结

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函数的周期性

一、周期函数的定义 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)， ．．．．T，．．．．那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

说明：（1）T必须是常数，且不为零；

（2）对周期函数来说f(xT)f(x)必须对定义域内的任意x都成立。 二、常见函数的最小正周期

正弦函数 y=sin（ωx+φ）（w>0）最小正周期为T= y=cos（ωx+φ）（w>0）最小正周期为T=

2π





2π



π

y=tan（ωx+φ）（w>0）最小正周期为T=



y=|sin（ωx+φ）|（w>0）最小正周期为T=



π



f(x)=C(C为常数)是周期函数吗？有最小正周期吗？ 三、抽象函数的周期总结

1、f(xT)f(x) yf(x)的周期为T 2、f(xa)f(bx) (ab) yf(x)的周期为Tba 3、f(xa)f(x) yf(x)的周期为T2a

4、f(xa)

c

(C为常数) yf(x)的周期为T2a f(x)

5 f(xa)

1f(x)

yf(x)的周期为T2a

1f(x)

1

yf(x)的周期为T4a

f(x)1

6、 f(xa)

7、f(xa)

1f(x)

yf(x)的周期为T4a

1f(x)

8、f(x2a)f(xa)f(x) yf(x)的周期为T6a

9、f(xn2)f(xn)f(xn1)；（它是周期函数，一个周期为6）

10、yf(x)有两条对称轴xa和xb（ab) yf(x) 周期T2(ba) 11、yf(x)有两个对称中心(a,0)和(b,0) yf(x) 周期T2(ba)

1




12、yf(x)有一条对称轴xa和一个对称中心(b,0)yf(x) 周期T4(ba) 13、奇函数yf(x)满足f(ax)f(ax) yf(x) 周期T4a。 14、偶函数yf(x)满足f(ax)f(ax) yf(x) 周期T2a。 四、对称性加奇偶性得到周期

1. f(x)为偶函数且f(a+x)=f(a-x)则T=2a 2.f(x)为奇函数且f(a+x)=f(a-x)则T=4a

练习：①f(x+a)=－f(x) ②f(x+a)=⑥ f(x)= f(x-a) -f(x-2a)

11f(x)1

③f(x+a)=－ ④f(x+a)= ⑤f(x+a)=f(x-a) f(x)f(x)f(x)1

1、函数f(x)的定义域为R，若f(x1)与f(x1)都是奇函数，则( ) A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)f(x2) D.f(x3)是奇函数

2、设fx是定义域为R的函数，且fx2又f222，则f2006= 1fx1fx，3、定义在R上的函数f(x)满足f(x)

log2(1x),x0

,则f(2011)的值为（ ）

f(x1)f(x2),x0

(A)-1 (B) 0 (C)1 (D)2 4、定义在R上的函数f(x)，给出下列四个命题：

（1）若f(x)是偶函数，则f(x3)的图象关于直线x3对称 （2）若f(x3)f(3x),则f(x)的图象关于点(3,0)对称

（3）若f(x3)=f(3x)，且f(x4)f(4x)，则f(x)的一个周期为2。 （4）yf(x3)与yf(3x)的图象关于直线x3对称。 其中正确命题的序号为 。

11、若f(x)为定义在R上的函数，且f(10x)f(10x)，f(20x)f(20x)，则f(x)为（ ） A． 奇函数且周期函数； B. 奇函数且非周期函数； C． 偶函数且周期函数； D. 偶函数且非周期函数． 14、已知函数fx满足:



f1

1

,4fxfyfxyfxyx,yR,则4

f2010=_____________.



2

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