高考数学三角函数常考题型及解答方法总结

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高考数学三角函数常考题型及解答方法总结

1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。



2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。



3. 终边相同的角的表示：

终边与终边相同(的终边在终边所在射线上)2k(kZ)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.

如与角1825的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。（答：



25；

5

） 36

4、与的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.

2



如若是第二象限角，则是第_____象限角（答：一、三）

2



2

5.弧长公式：l||R，扇形面积公式：S1lR1||R，1弧度(1rad)57.3.

22

如已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：2cm）

6、任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P(x,y)是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是r

2

x2y20，那么sin

yx

,cos，rr

tan

y

,x0，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。 x

7）；1332m3

（2）设是第三、四象限角，sin，则m的取值范围是_______（答：（－1，)）；

24m

如（1）已知角的终边经过点P(5，－12)，则sincos的值为＿＿。（答：

7.特殊角的三角函数值： 30° 45° 60°

0° 0

90° 1

180° 0

270° －1

15°

75°

sin

cos

1

23 23 33

2 22 2

1

3 262

462

4

62

462

4

2+3

1 23

1 0 －1 0

tan cot

0 0

2-3

1

3 3

0 0

2+3 2-3




8. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：sincos1 ； （2）商数关系：tan

2

2

sin

； cos

同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。

如（1）若02x2，则使1sin22xcos2x成立的x的取值范围是____（答：

[0,



4

]

3

； [,]）

4

5m342m

，cos；()，则tan＝____（答：）

12m5m52

tansin3cos2

（3）已知＝____；sinsincos2＝1，则

tan1sincos

513

_________（答：；）；

35



（4）已知f(cosx)cos3x，则f(sin30)的值为______（答：－1）。

（2）已知sin

k

）的本质是：奇变偶不变（对k而言，指k取奇数或偶2

数），符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k+,02；(2)转化为锐角三

9.三角函数诱导公式（角函数。

2397

）； tan()sin21的值为________（答：2346

4

（2）已知sin(540)，则cos(270)______，若为第二象限角，则

5

43[sin(180)cos(360)]2

________。（答：；） 

5100tan(180)

如（1）cos





10、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：

令

sinsincoscossinsin22sincos

coscoscos

令

sinsincos2cos2sin2

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2cos2112sin2

tantan1+cos2

　tan　　　　　　　cos2＝

1tantan2

1cos2

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　sin2＝

2

2tan

　　　tan2

1tan2




如（1）已知sin()coscos()sin

3

，那么cos2的值为____（答：5

7）； 25

（2）

13

的值是______（答：4）；

sin10sin80

0

0

(3)已知tan110a，求tan50的值（用a表示）甲求得的结果是

a3

，乙求得

13a

1a2

的结果是，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______（答：甲、乙都对）

2a



11. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:

（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()，2()()，

2()()，2



2222

213

如（1）已知tan()，tan()，那么tan()的值是_____（答：）

224544

（2）已知0

，















等），





2

且cos(，



12

求cos())，sin()，

2923

的值（答：

490

）； 729

(2)三角函数名互化(切割化弦)，

如（1）求值sin50(13tan10)（答：1）；

（2）已知

(3)公式变形使用（tantantan1tantan。

如（1）已知A、B为锐角，且满足tanAtanBtanAtanB1，则cos(AB)＝_____（答：

sincos21

1,tan()，求tan(2)的值（答：）

81cos23

2

）； 2

3

，则此三角4

(2)设ABC中，tanAtanB33tanAtanB，sinAcosA形是____三角形（答：等边）



(4)三角函数次数的降升(降幂公式：cos

2

2

2

1cos21cos22

，sin与升幂22

公式：1cos22cos，1cos22sin)。




如(1)若(,)，化简

321111

； cos2为_____（答：sin）22222

5

3(xR)的单调递增区间为2

2

（2）函数f(x)5sinxcosx53cosx

5

](kZ)）

1212

2222

(5)常值变换主要指“1”的变换（1sinxcosxsecxtanxtanxcotx tansin等），

42

322

如已知tan2，求sinsincos3cos（答：）.

5

___________（答：[k



,k



(6)正余弦“三兄妹—sinxcosx、， sinxcosx”的内存联系――“知一求二”

t21

如（1）若 sinxcosxt，则sinxcosx __（答：)，特别提醒：这里

2

t[2,2]；

sin22sin2

k()，试用k表示sincos的值（答：（2）已知

1tan42

1k）。



12、辅助角公式中辅助角的确定：asinxbcosx在的象限由a, b的符号确定，角的值由tan

a2b2sinx(其中角所

b

确定)在求最值、化简时起着重要作用。a

如（1）若方程sinx3cosxc有实数解，则c的取值范围是___________.（答：[－2,2]）；



（2）当函数y2cosx3sinx取得最大值时，tanx的值是______(答：（3）如果fxsinx2cos(x)是奇函数，则tan= （4）求值：

3)； 2

(答：－2)；

31

64sin220________(答：32) 22

sin20cos20



13、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数ysinx和余弦函数ycosx图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，



2

,,

3

,2的五点，再用光滑的曲线把这五点连接2

起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。



14、正弦函数ysinx(xR)、余弦函数ycosx(xR)的性质： （1）定义域：都是R。

（2）值域：都是1,1，对ysinx，当x2k



2

kZ时，y取最大值1；当

x2k

3

kZ时，y取最小值－1；对ycosx，当x2kkZ时，y取最2




大值1，当x2kkZ时，y取最小值－1。

如（1）若函数yabsin(3x（答：a



31

)的最大值为，最小值为，则a__，b＿

226

1

； ,b1或b1）

2

（2）函数f(x)sinx3cosx（x[



22,

； ]）的值域是____（答：[－1, 2]）

（3）若2，则ycos6sin的最大值和最小值分别是____ 、_____（答：

7；－5）；

（4）函数f(x)2cosxsin(x＝__________（答：2；k



3

此时x)3sin2xsinxcosx的最小值是_____，

； (kZ)）

12

2222

（5）若sin2sin2cos，求ysinsin的最大、最小值（答：



ymax1，ymin222）。特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余

弦函数的有界性了吗？



（3）周期性：①ysinx、ycosx的最小正周期都是2；②f(x)Asin(x)和f(x)Acos(x)的最小正周期都是T

如(1)若f(x)sin

2

。 ||

； f(2003)＝___（答：0）

x

3

44

(2) 函数f(x)cosx2sinxcosxsinx的最小正周期为____（答：）；

(3) 设函数f(x)2sin(

，则f(1)f(2)f(3)



x)，若对任意xR都有f(x1)f(x)f(x2)成立，

25



则|x1x2|的最小值为____（答：2）

（4）奇偶性与对称性：正弦函数ysinx(xR)是奇函数，对称中心是

k,0kZ，对称轴是直线xkkZ；余弦函数ycosx(xR)是偶函数，

2



,0kZ，对称轴是直线xkkZ（正(余)弦型函数的对称轴2

为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴的交点）。

5

2x的奇偶性是______（答：偶函数）如（1）函数ysin； 2

3

（2）已知函数f(x)axbsinx1(a,b为常数），且f(5)7，则f(5)______

对称中心是k

（答：－5）；

（3）函数y2cosx(sinxcosx)的图象的对称中心和对称轴分别是__________、____________（答：(







kk,1)(kZ)、x(kZ)）； 2828

（4）已知f(x)sin(x)3cos(x)为偶函数，求的值。（答：

6



k(kZ)）




（5）单调性：ysinx在2k





2

,2k



2

kZ

上单调递增，在

3

2k,2kkZ单调递减；ycosx在2k,2kkZ上单调递减，22

在2k,2k2kZ上单调递增。特别提醒，别忘了kZ！

15、形如yAsin(x)的函数： （1）几个物理量：A―振幅；f

1

―频率（周期的倒数）；x―相位；―初T

23Y

29

X

相；

（2）函数yAsin(x)表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定，

如f(x)Asin(x)(A0,0，||



2

)的图象如图所

-2

1523题图示，则f(x)＝_____（答：f(x)2sin(x)）； 23

（3）函数yAsin(x)图象的画法：①“五点法”――设Xx，令X＝30，,,,2求出相应的x值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：

22

这是作函数简图常用方法。 （4）函数yAsin(x)k的图象与ysinx图象间的关系：①函数ysinx的图象纵坐标不变，横坐标向左（>0）或向右（<0）平移||个单位得ysinx的图象；②函数ysinx图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的

1

，得到函数

ysinx的图象；③函数ysinx图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数yAsin(x)的图象；④函数yAsin(x)图象的横坐标不变，纵坐标向上（k0）或向下（k0），得到yAsinxk的图象。要特别注意，



若由ysinx得到ysinx的图象，则向左或向右平移应平移||个单位，





如（1）函数y2sin(2x)1的图象经过怎样的变换才能得到ysinx的图象？

4



（答：y2sin(2x)1向上平移1个单位得y2sin(2x)的图象，再向左平移

844

个单位得y2sin2x的图象，横坐标扩大到原来的2倍得y2sinx的图象，最后将纵坐

1

标缩小到原来的即得ysinx的图象）；

2

xx

(2) 要得到函数ycos()的图象，只需把函数ysin的图象向___平移____

224



个单位（答：左；）；

2

7

（3）将函数y2sin(2x

按向量a平移后得到的函数图像关于原点对称，)1图像，

3

这样的向量是否唯一？若唯一，求出a；若不唯一，求出模最小的向量（答：存在但不唯一，




模最小的向量a(

； ,1)）

6

（4）若函数fxcosxsinxx0,2的图象与直线yk有且仅有四个不同





（答：[1,2)）



的交点，则k的取值范围是

（5）研究函数yAsin(x)性质的方法：类比于研究ysinx的性质，只需将

yAsin(x)中的x看成ysinx中的x，但在求yAsin(x)的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。

如（1）函数ysin(2x



3

)的递减区间是______（答：

5

； ,k](kZ)）

1212

x

（2）ylog1cos()的递减区间是_______（答：

342

33

； [6k,6k](kZ)）

44



（3）对于函数fx2sin2x给出下列结论：①图象关于原点成中心对称；②

3



图象关于直线x成轴对称；③图象可由函数y2sin2x的图像向左平移个单位得

123[k

到；④图像向左平移



个单位，即得到函数y2cos2x的图像。其中正确结论是_______12

（答：②④）；

（4）已知函数f(x)2sin(x)图象与直线y1的交点中，距离最近两点间的距离为



，那么此函数的周期是_______（答：） 3

16、正切函数ytanx的图象和性质：



（1）定义域：{x|xk,kZ}。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数

2

的定义域了吗？

（2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值；

（3）周期性：是周期函数且周期是，它与直线ya的两个相邻交点之间的距离是一个周期。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。 如ysin2x,ysinx的周期都是, 但ysinx

cosx的周期为

期不变；

1

，而y|2sin(3x)|,y|2sin(3x)2|，y|tanx|的周2626

k

,0kZ，特别提醒：正(余)2

切型函数的对称中心有两类：一类是图象与x轴的交点，另一类是渐近线与x轴的交点，但

（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。

（5）单调性：正切函数在开区间



k,kkZ内都是增函数。但要注

22

意在整个定义域上不具有单调性。如下图：








三角函数图象几何性质 三角函数图象几何性质y=ωx+φyAtan(Atan(x))y sin(Asin(yy=Aωx+xφ))y



xO xO

x3x4x4 x3



x=x2x=xx=x1x=x2

邻中心轴相距T1

4

邻中心|x3-x4|= T/2邻渐近线|x1-x2|=T邻中心|x3-x4|=T/2邻轴|x1-x2|=T/2 无对称轴

无穷对称轴:无穷对称中心:无穷对称中心:任意一条y轴的垂线与正切

由y=0或y无意义确定函数图象都相交,且相邻两由y=0确定由y=A或-A确定 交点的距离为一个周期！

17. 三角形中的有关公式：

(1)内角和定理：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.

abc2R(R为三角形外接圆的半径).注意：①正弦sinAsinBsinC

ab

定理的一些变式：iabcsinAsinBsinC；iisinA,sinB,sinC

2R2R

c

；iiia2RsinA,b2RsinB,b2RsinC；②已知三角形两边一对角，求解三2R

(2)正弦定理：

角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.

(3)余弦定理：a2b2c22bccosA,cosAbca等，常选用余弦定理鉴定

2

2

2

2bc

三角形的形状.

22222222

如ABC中，若sinAcosBcosAsinBsinC，判断ABC的形状（答：直角

S1aha1absinC1r(abc)（其中r为三角形内切圆半径） (4)面积公式：.

三角形）。

特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意ABC这个特殊性：

ABC,sin(AB)sinC,sin

ABC

（2）求解三角形中含有边角混合关cos；

22

1

）；2

系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。

如（1）在ABC中， (1tanA)(1tanB)2，则log2sinC＝_____（答：(2)在ABC中，a,b,c分别是角

A、B、C

所对的边，若

(abc)(sinAsinBsinC)3asinB，则C＝____（答：60）；

a2b2c2

（3）在ABC中，若其面积S，则C=____（答：30）；

43

（4）在ABC中，A60, b1，这个三角形的面积为3，则ABC外接圆的直径是_______（答：

239

）； 3

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