2022年高考数学二轮复习：洛必达法则

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2022年高考数学二轮复习：洛必达法则

洛必达法则：设函数f(x)，g(x)满足：(1)limf(x)＝limg(x)＝0(或∞)；(2)在U(a)内，f′(x)x→ax→a

和g′(x)都存在，且g′(x)≠0；(3)lim x→alim x→a

f′x

＝A(可连续使用)． g′x

f′xfx

＝A(A可为实数，A也可以是±∞)．则lim ＝x→agxg′x

例 已知函数f(x)＝x2ln x－a(x2－1)，a∈R.若当x≥1时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围． 解 方法一 由f(x)＝x2ln x－a(x2－1)≥0， 当x＝1时，不等式成立， x2ln x

当x>1时，a≤2，

x－1

xx2－1－2ln xx2ln x

令g(x)＝2(x>1)，则g′(x)＝，

x－1x2－122

因为x>1，则(x2－1－2ln x)′＝2x－>0，

x故y＝x2－1－2ln x在(1，＋∞)上单调递增， 则y＝x2－1－2ln x>0， xx2－1－2ln x

故g′(x)＝>0.

x2－12所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增． x2ln x

则g(x)>g(1)，由洛必达法则知lim x→1x2－1＝lim x→1

2xln x＋x1

＝. 2x2

x2ln x1

所以由a≤2恒成立，则a≤.

2x－1

方法二 f′(x)＝2xln x＋x－2ax＝x(2ln x＋1－2a)， 因为x≥1，所以2ln x＋1≥1，

1

则当a≤时，f′(x)＝x(2ln x＋1－2a)≥0，

2此时f(x)在[1，＋∞)上单调递增，

1

所以f(x)≥f(1)＝0，此时f(x)≥0恒成立，所以a≤；

21

当a>时，由f′(x)＝x(2ln x＋1－2a)＝0，

2得x＝x0，且2ln x0＋1－2a＝0，x0＝e

2a12

，

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