正余弦函数图象的对称性(剡海龙)

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正弦、余弦函数图象的对称性

（武都区两水中学，甘肃，武都 746000）

剡海龙

在新课标教材中，对正弦函数ysinx和余弦函数ycosx在定义域上的性质，只研究了定义域、值域（含最值）、周期性、单调性及奇偶性（隐藏着对称性），而没有单独讨论它们的对称性，事实上这些函数具有下列对称性。

性质正弦函数ysinx，xR是奇函数，其图象关于原点对称；正弦曲线是轴对称图形也是中心对称图形，并且有无穷多条对称轴和无穷多个对称中心，分别为直线

xkk



2

xR是偶函数，其图(kZ)和点(k,0)，(kZ)；余弦函数ycosx，

象关于y轴对称；余弦曲线的对称轴方程和对称中心坐标分别为直线xkk和点

(k



2

,0),k(Z。)

掌握了它们的对称性后，我们便可将其对称性与值域（含最值）、单调性、周期性融为一体，显然，它们的值域为f(xk)与f(xk1)之间的一切实数组成的集合，最大、最小值由

f(xk)与f(xk1)相应确定，一个单调增或单调减区间为[xk,xk1]，半周期T2

xk1xk(kN)，可见若能直接运用对称轴方程解题，则显得十分简明而又准确可靠。

*

【例1】 函数ysin(2x



2

52

)的图象的一条对称轴方程为（）

A. x B. x



4

C. x



8

52

D. x

54



52k

方法一：运用上述性质，ysin(2x

xk

k2

,(kZ)，取k1,得x

)的对称轴方程为2x



2

，即



2

，对于B、C、D都无整数k对应，故选A。

方法二：可作函数图象草图进行判断，不过速度稍慢。

5

)1，知直线x方法三：将x代入函数式得ysin(经过函

2

2

2

数图象的最低点，它是函数图象的一条对称轴。

【例2】（2009·全国Ⅰ理）如果函数y3cos(2x)的图象关于点(那么的最小值为（）

A. x



6

43

,0)中心对称，

B. x



4

C. x



3

D. x

43



2



43

)0，即

解：由y3cos(x2的)图象关于点(,0)中心对称知，f(


3cos(

83

)0，

83

k



2

(kZ)，k



2



83

(kZ)，

的最小值为

min

2



2



83





6

，从而选A。

【例3】在下列选项中函数ysin(x

A. [



2

,] B.[0,



4

)的单调增区间是（）



4

] C. [,0] D.[



4,2

]

分析：函数ysin(x欲求ysin(x



4



4

)是一个复合函数即ysin[(x)]，(x)x



4

，

因(x)x)的单调增区间，



4

在实数集上恒递增，故应求使y随(x)

递增而递增的区间。

方法一：因为(x)x



4

在实数集上恒递增，又ysinx在[2k

2x



2

,2k



2

]

(kZ)上是递增的，故令2k



4

2k34



2

，2k

4

34

x2k



4

，

函数ysin(x[114,74]、[

34



4,

)的递增区间是[2k,2k]，取k1,0,1，分别得区间



4

]、[

54

,

94

]，对照各选项，可知应选B。

244

35

,]或[,]，根据照各选项，分别取k1,0,1，得一个递增或递减区间分别为[

4444

方法二：函数ysin(x



4

)的对称轴方程为，xkk







k



(kZ)对

选项思考即知应选B。

三角函数图象的对称性质是一种重要的性质，涉及这方面内容的题目，在高考试题中经

常考察，而且常考常新。

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