南开实验学校王芳(9)

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在初中数学教学中数学建模意识的培养 南开实验学校 王芳

数学建模就是建立数学模型来解决问题的方法。《数学课程标准》安排了“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四块学习领域,强调学生的数学活动,发展学生的数感、符号感、空间观念、以及应用意识与推理的能力。这些内容中最重要的部分,就是数学模型。在中学阶段,数学模型的表现形式为一系列的概念系统,算法系统,关系、定律、公理系统等。数学模型不仅为数学表达和交流提供有效途径，也为解决现实问题提供重要工具，可以帮助学生准确、清晰地认识、理解数学的意义。在中学数学教学活动中，教师应采取有效措施，加强数学建模思想的渗透，提高学生的学习兴趣，培养学生用数学意识以及分析和解决实际问题的能力。在教学中如何渗透数学模型思想呢？ 一、什么是数学建模

数学建模是指根据具体问题，在一定假设下找出解决这个问题的数学框架，求出模型的解，并对它进行验证的全过程。也就是说，数学建模是将某一领域或某一实际问题，经过抽象、简化、明确变量和参数，并根据某种规律建立变量和参数间的一个明确的数学模型，然后求解该问题，并对此结果进行解释和验证。 二、强化数学建模教学的意义。

数学来源于生活，又服务于生活，因此，要将现实生活中发生的与数学学习有关的素材及时引入课堂，要将教材上的内容通过生活中熟悉的事例，以情境的方式在课堂上展示给学生，描述数学问题产生的背景。情景的创设要与社会生活实际、时代热点问题、自然、社会文化等与数学问题有关的各种因素相结合，让学生感到真实、新奇、有趣、可操作，满足学生好奇好动的心理要求。这样很容易激发学生的兴趣，并在学生的头脑中激活已有的生活经验，也容易使学生用积累的经验来感受其中隐含的数学问题，从而促使学生将生活问题抽象成数学问题，感知数学模型的存在。 三、数学建模的一般方法。

数学建模的方法很多，但从理论上讲，主要有以下两种方法：（1）机理建模方法。（2）系统辩识建模方法。直接利用观察数据，根据一定的优良准则在模型中找出与数据拟合的最好模拟。这种方法在建立过程控制模型中是常用的。 在数学教学中，要使学生初步学会建立数学模型的方法，提高学生应用数学知识解决实际问题的能力，应着重注意以下几点：

首先是审题。对实际问题的题目，要耐心细致地读题，深刻分解实际问题的背景，明确建模的目的；弄清问题中的主要已知事项，尽量掌握建模对象的各种信息；挖掘实际问题的内在规律，明确所求结论和对所求结论的限制条件。接着


是简化。抓住主要因素，抛弃次要因素，根据数量关系，联系数学知识和方法，用精确的语言作出假设。最后是抽象定型。将已知条件与所求问题联系起来，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子、图形或表格等形式表达出来，从而建立数学模型。按上述方法建立起来的数学模型，是不是符合实际，在对模型求解、分析以后通常还要用实际现象、数据等检验模型的合理性。 四、立足教材强化建模意识教学

从广义讲，一切数学概念、公式、方程式和算法系统等都是数学专家从现实生活实践中总结出来的数学模型,可以说，数学建模的思想渗透在中小学数学教材中。因此，只要我们深入钻研教材，挖掘教材所蕴涵的应用数学的教材，并从中总结提炼，就能找到数学建模教学的素材。例如：

（1）平均增长率问题，包括产量、繁殖、资金、利率、裂变等，可以建立幂函数、指数函数、对数函数或方程模型。

（2）最大（小）值问题，包括面（体）积最大（小）、用料最省、费用最低、效益最好等，可以建立函数或不等式模型。

（3）行程问题、工程问题、浓度问题，可以建立方程（组）、不等式（组）模型。

（4）拱桥问题、炮弹发射问题、卫星轨道问题，可以建立二次曲线模型。 （5）测量问题，可以建立解三角形模型

接下来从一个具体的问题出发探讨一下初中数学教学中一个值得采用的启发式教学方法----条形图模型。

例1：小明和小刚共有苹果若干，小明的苹果数是小刚的5倍。若小明给小刚36个苹果，他们两人的苹果就一样多，间他们共有多少个苹果？

这一问题可用列二元一次方程组求解，若令x和y分别为小明和小刚原有的苹果数，那么x和y满足下面的二元一次方程组： ，容易解得，x＝90，y＝18，从而x+y＝108，即小明和小刚共有苹果108个。这一问题也可用条形图模型求解如下：将小刚原有的苹果数视为一个单位，那么由题意知，小明原有的苹果数为5个单位，由此得到模型：2个单位→36，6个单位→36÷2×6＝108。所以小明和小刚共有108个苹果。可见条形图可使数量之间的关系变得一目了然，然后的求解过程只涉及简单的加减乘除运算（而不是解方程或方程组）。条形图方法具有：（1）简单直观，富有启发性；（2）易于反映量与量之间的关系；（3）易于反映量的变化（增加或减少）的过程；（4）易于教师讲解，特别是进行多媒体教学；（5）易于学生提高逻辑推理能力，培养他们的创造性思维能力。 下面进一步就初中数学中的几类问题分别举例说明这种模型化解题的具体应用。


（一）、分数问题

例2：某中学 的学生是女生，其余是男生。其中 的女生， 的男生参加了校运动会。如果此中学共有570名学生没有参加校运动会，问学校共有多少学生？ 解：将学校的学生分成5个单位，则由题意，其中2个单位是女生，3个单位是男生，由此可得下面的模型：

未参加运动会的共有1个单位＋ 个单位＝ 个单位，

个单位→570，5个单位→1140。所以该学校共有1140个学生。 （二）、比例问题

例3：4月份小王与小李在银行的储蓄额是3:5，到了6月份小王的储蓄额增加了28元，而小李的储蓄额却减少了14元，结果他们两位的储蓄额正好相等，问小李4月份的储蓄额是多少？

解：由题意，可将4月份小王和小李的储蓄额分别视为3个单位和5个单位，由此得到模型：

2个单位→（28＋14）元＝42元，5个单位→42元÷2×5＝105元。所以小李的储蓄额为105元。 （三）、行程问题

例5：两城市A和B之间的距离为210公里。上午8点30分有一辆轿车以平均速度60公里／小时从A出发驶向B，同时另有一辆公共汽车以平均速度45公里／小时从B出发驶向A，问当轿车与公共汽车相遇时，公共汽车行驶了多少路程？解：公共汽车与轿车所行驶的距离之比等于两者的速度之比，即60:45＝4:3，因此我们可将A到B的整个路程分7个单位，进而得到下面的模型：4个单位＋3个单位＝7个单位→210公里，3个单位→210公里÷7×3＝90公里。所以当轿车与公共汽车相遇时公共汽车行驶了90公里。

上面的几类问题均可用设求未知数列方程的方式求解，例如上面的例2至例4可用一元一次方程求解，例5可用二元一次方程组求解，请读者自己完成。 总之，对于某些实际问题，可以通过建立合理的数学模型作为桥梁来解决，对于相同类型的问题，采用相同的数学模型，使学生的思维过程形象化、公式化。这样，学生学起来不感到抽象、难懂，并能增强记忆和理解，容易被学生所接受。同时，通过直观演示配合列表，把问题中的已知条件、未知条件列入表中，使题目更加条理化，帮助学生透彻理解题意，就容易找出相等关系列出方程，使教学的难点得以突破。一个学生是否具有数学的创造能力的一个重要标志是他是否有建立并应用数学模型的能力。因此在数学教学中应充分重视培养这种能力，鼓励他们独立思考、勇于探索，发现前人尚未发现问题的新结论、新方法。

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