中考数学压轴题型研究——动点几何问题解题方法

2022-03-29 06:11:20   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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中考数学压轴题型研究(一)——动点几何问题

下面以具体实例简单的说一说此类题的解题方法。

一、利用动点(图形)位置进行分类,把运动问题分割成几个静态问题,然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题

1(北京市石景山区2010数学期中练习)在△ABC中,∠B=60°,BA=24CM,BC=16CM, (1)求△ABC的面积;

(2)现有动点PA点出发,沿射线AB向点B方向运动,动点QC点出发,沿射线CB也向点B方向运动。如果点P的速度4CM/秒,点Q的速度是2CM/秒,它们同时出发,几秒钟后,△PBQ的面积是△ABC的面积的一半?

(3)在第(2)问题前提下,P,Q两点之间的距离是多少?

点评:此题关键是明确点PQ在△ABC边上的位置,有三种情况。 1)当0t6时,PQ分别在ABBC边上;

2)当6t8时,PQ分别在AB延长线上和BC边上; 3)当t >8, PQ分别在ABBC边上延长线上. 然后分别用第一步的方法列方程求解.

B

C

A

2: (北京市顺义2010初三模考)已知正方形ABCD的边长是1ECD边的中点, P为正方形ABCD边上的一个动点,动PA点出发,沿A B C E运动,到达点E.若点P经过的路程为自变量x,△APE的面积为函数

y

1)写出yx的关系式 (2)求当y

1

时,x的值等于多少? 3

点评:这个问题的关键是明确点P在四边形ABCD边上的位置,根据题意点P的位置分三种情况:分别在AB上、BC边上、EC边上.

3(北京市顺义2010初三模考)如图1 ,在直角梯形ABCD中,∠B=90°,DCAB动点PB点出发,沿梯形的边由BC D A 运动,设点P运动的路程为x ,ABP的面积y , 如果关于x 的函数y的图象如图2 ,那么△ABC 的面积为( A32

B18

C16

D10

y B

409齐齐哈尔)直线时从O点出发,同时到达

3

yx6与坐标轴分别交于AB两点,动点PQ

4

运动速度为每秒1个单位长

A点,运动停止.点Q沿线段OA

P O

Q

A x

度,点P沿路线OB1)直接写出AB两点的坐标; A运动

2)设点Q运动时间为t秒,OPQ的面积为S,求出St之间的函数关系式; 3)当S



48

时,求出点P的坐标,并直接写出以点OPQ为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标. 5

点评:本题关键是区分点P的位置:点POB上,点PBA上。

1

ABC的边长为4厘米,长为1厘米的线段MNABC的边AB上沿AB方向以

厘米/秒的速度向B运动运动开始时,点M与点A重合,点N到达点B运动终止),过点MN分别作AB边的垂

52009宁夏)已知:等边三角形

线,与ABC其它边交于PQ两点,线段MN运动的时间为t秒.

1)线段MN运动的过程中,t为何值时,四边形MNQP恰为矩形?并求出该矩形的面积; 2)线段MN运动的过程中,四边形MNQP的面积为S运动的时间为t.求四边形

C Q

1 / 6



P A M

N

B


MNQP的面积S运动时间t变化的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.

解:1)过点CCD

AB,垂足为D.则AD2

MN运动到被CD垂直平分时,四边形MNQP是矩形,即AM

3

时, 2

四边形MNQP是矩形,t

3

秒时,四边形MNQP是矩形. 2

P

C Q

PMAMtan60°=

333S四边形MNQP322

13

(PMQN·)MN3t

22

A

21°0t

1时,S四边形MNQP

M

C

N P

Q

B

2°1t2时,S四边形MNQP

3°2t3时,S四边形MNQP

13

(PMQN·)MN3 2217(PMQN·)MN3t3 22

A

M

N B

点评:此题关键也是对PQ两点的不同位置进行分类。

62009四川乐山)如图15在梯形的坡度i

动点PA出发以34

ABCD中,DCABA90°AD6厘米,DC4厘米,BC

AB方向向点B运动,动点Q从点B出发以

3厘米/秒的速度沿

2厘米/秒的速度沿

BCD方向向点D运动,两个动点同时出发,当其中一个动点到达终点时,另一个动D

点也随之停止.设动点运动的时间为t秒.

1)求边BC的长;

2)当t为何值时,PCBQ相互平分;

C

Q

B

3

A

3)连结PQPBQ的面积为大值?最大值是多少? 6. 解:1)作CE

探求yt的函数关系式,求t为何值时,y有最y

PE

AB于点E,如图(3)所示,则四边形AECD为矩形.

4i3AECD4CEDA6

RtCEB中,由勾股定理得:BC

CE3

EB8AB12EB4

2

CE2EB210

2)假设PCBQ相互平分.由DCABPBCQ是平行四边形(此时QCD上) ·············

CQBP3t10122t解得t

2222

t秒时,PCBQ相互平分. 55

3)①当QBC上,即0t

10

时,作QFABF,则CEQF 3

2 / 6






QFBQQF3t9t119t981

SPBQPB·QF(122t·)=(t3)2QF

225CEBC610555

3秒时,SPBQ有最大值为



t

81

厘米2 5

②当QCD上,即

101411

·CE(122t)6=366tt时,SPBQPB 2233



1010

616厘米2秒时,SPBQ有最大值为36

33

易知St的增大而减小.故当t

925410

tt0t55381

16y 514106t36t33

综上,当t

3时,SPBQ有最大值为

81

厘米2 5

AC10厘米,BC8厘米,DAB

A

二、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质(或所求图形面积)直接转化为函数或方程。 7(包头)如图,已知ABC中,AB中点.

1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C运动,同时,点Q在线段CAC点向A运动

①若点Q运动速度与点P运动速度相等,经过1秒后,BPDCQP是否全等,请说明理由;

D

Q

P

C

B

②若点Q运动速度与点P运动速度不相等,当点Q运动速度为多少时,能够使BPDCQP全等?

2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿ABC三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC的哪条边上相遇?

解:1)①∵t

1秒,∴BPCQ313厘米,

AB10厘米,点DAB的中点,∴BD5厘米.

又∵PCBCBPBC8厘米,∴PC835厘米,∴PCBD

又∵

ABAC,∴BC,∴BPD≌△CQP vQ BPCQ

②∵vP

又∵BPD≌△CQPBC,则BP∴点P,点Q运动的时间t

PC4CQBD5



BP4CQ515

秒,∴vQ厘米/秒.

4433t

3

1580x3x210,解得x秒.

34

3 / 6

2)设经过x秒后点P与点Q第一次相遇,由题意,得




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