新北师大版九年级数学二次函数知识点归纳总结

2022-10-31 22:06:17   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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二次函数学问点归纳

1.定义:一般地,假如yaxbxc(a,b,c是常数,a0),那么y叫做x的二次函数. 2.二次函数yax的性质

1)抛物线yax的顶点是坐标原点,对称轴是y. 2)函数yax的图像与a的符号关系.

①当a0抛物线开口向上顶点为其最低点;

②当a0抛物线开口向下顶点为其最高点.

3)顶点是坐标原点,对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为yaxa0. 3.二次函数 yaxbxc的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线. 4.二次函数yaxbxc用配方法可化成:yaxh

2

2

2

2

2

2

2

2

b4acb2

k的形式,其中hk.

2a4a

2

2

22

5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:yaxyaxkyaxhyaxhk

2

yaxbxc.

6.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点.

a的符号确定抛物线的开口方向:当a0时,开口向上;当a0时,开口向下;

a相等,抛物线的开口大小、形态一样.

②平行于y轴(或重合)的直线记作xh.特殊地,y轴记作直线x0.

7.顶点确定抛物线的位置.几个不同的二次函数,假如二次项系数a一样,那么抛物线的开口方向、开口大小完全一样,只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

b4acb2bb4acb2

1)公式法:yaxbxcax,∴顶点是,对称轴是直线. x

2a4a2a2a4a

2

2

2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为yaxhk的形式,得到顶点为(h,k),对称轴是直线

2

xh.

3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对

称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进展验证,才能做到万无一失. 9.抛物线yaxbxc中,a,b,c的作用

1a确定开口方向及开口大小,这与yax中的a完全一样.

2

2


2ba共同确定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yaxbxc的对称轴是直线

2

x

bbb

,故:①b0时,对称轴为y轴;②0(即ab同号)时,对称轴在y轴左侧;③0(即a2aaa

b异号)时,对称轴在y轴右侧.

3c的大小确定抛物线yaxbxcy轴交点的位置.

x0时,yc,∴抛物线yaxbxcy轴有且只有一个交点(0c c0,抛物线经过原点; c0,y轴交于正半轴;③c0,y轴交于负半轴. 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧,则 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下: 函数解析式

开口方向

a0 开口向上

对称轴

顶点坐标

0,0 (0, k) (h,0) (h,k)

2

2

b

0. a

yax2 yaxk yaxh

2

x0y轴)

2

x0y轴) xh xh

x

b 2a

2

yaxhk a0

开口向下

yaxbxc

2

b4acb2

() 2a4a

11.用待定系数法求二次函数的解析式

1)一般式:yaxbxc.已知图像上三点或三对xy的值,通常选择一般式. 2)顶点式:yaxhk.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.

2

2

3)交点式:已知图像与x轴的交点坐标x1x2,通常选用交点式:yaxx1xx2. 12.直线与抛物线的交点

1y轴与抛物线yaxbxc得交点为(0, c).

2

2)与y轴平行的直线xh与抛物线yaxbxc有且只有一个交点(h,ahbhc).

2

2

3)抛物线与x轴的交点

2

二次函数yaxbxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1x2是对应一元二次方程axbxc0的两

2

个实数根.抛物线与x轴的交点状况可以由对应的一元二次方程的根的判别式断定: ①有两个交点0抛物线与x轴相交;

②有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切;


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