线性递归数列

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新都一中高中数学奥林匹克竞赛辅导系列 第 1 页 共 2 页

线性递归数列



主讲：杜修奎

【基础知识】

1、概念：①、递归式：一个数列{an}中的第n项an与它前面若干项an1，an2，„，ank（kn）的关系式称为递归式。 ②、递归数列：由递归式和初始值确定的数列成为递归数列。 2、常用方法：累加法，迭代法，代换法，代入法等。 3、思想策略：构造新数列的思想。 4、常见类型： 类型Ⅰ：

an1p(n)anq(n)(p(n)0)

（一阶递归）

aa(a为常数）1

其特例为：（1）an1panq(p0) （2）an1panq(n)(p0) (p0)

（3）an1p(n)anq

解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。 类型Ⅱ：

an2pan1qan(p0,q0)

（二阶递归）

aa,ab(a,b为常数）12

解题方法：利用特征方程x2pxq，求其根、，构造anAnBn，代入初始值求得A,B。 类型Ⅲ：an1f(an)其中函数f(x)为基本初等函数复合而成。 解题方法：一般情况下，通过构造新数列可转化为前两种类型。 【例题】

例1、已知数列{an}满足以下递归关系

例2、已知数列{an}满足

例3、已知数列{an}满足

例4、已知数列{an}满足

an13an4

，求通项an。

a11

an12an(2n1)

a12

，求通项an。

an1nan2(n2)

，求通项an。

a11

an23an12an

，求通项an。

a1,a212


新都一中高中数学奥林匹克竞赛辅导系列 第 2 页 共 2 页 例5、由自然数组成的数列{an}，满足a11，amnamanmn，求an。

4

例6、已知数列{an}满足a110，an1n1an（n1），求an。

n4



例7、已知f(x)

例8、已知数列{an}中，a11，an11(14an124an)，求an。

x，且f(x0)1，方程f(x)x有唯一解，设xnf(xn1)（nN），求xn。

a(x2)2

16



例9、设正数列{an}满足ananan1，证明an 【练习】

1、已知数列{an}满足以下递归关系，求an。（1）a11，an15an12（nN） （2）a11，an12ann1（nN） （3）a12，an1

2

1（n2，3，4，„）

n2

na1（nN）

n

n1

2

（4）a12，an1n1an2（nN） （5）a11，Snnan（Sn为前n项和）

nn

（6）a110，an1410an（n2,nN） （7）

an22an13an



aa121

2、已知数列{an}和{bn}中，a110，b113，且an12an4bn，bn15an7bn，求an和bn。

2

3、已知x00，xn15xn14xn1（n0，1，2，3，4，„），证明xnN（nN）。

4、已知数列{an}满足：an3ncosn(arccos1)，证明an是不能被3整除的整数。

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