高中数学抛物线的顶点和对称轴

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高中数学抛物线的顶点和对称轴

二次函数

的图象是一条抛物线，这条抛

，对称轴是

物线是轴对称图形，其顶点的横坐标为直线

，可见，对称轴是经过顶点且垂直于x轴的

一条直线。 当

时，方程

有不相等二实数与x轴有两个

。而对称轴恰为线段AB

。换言

根和，相应的抛物线不重合的交点

和

的垂直平分线。这是因为

之，在这种情况下，对称轴方程也可以改写为

。



例1、已知抛物线与x轴交于点A（1，

0）和点B（7，0），顶点为M，且△MAB是等腰直角三角形，求抛物线的解析式。 分析：设

与

是抛物线图象上的两点，显

。

然直线AB//x轴。此时抛物线对称轴方程为

这一点很容易证明。A、B在x轴上时是一种特殊情况。 解析：由抛物线的对称性知MA=MB，并且

。


对称轴为。△MAB为等腰直角三角形，所以



斜边AB上的高即斜边上的中线，则高为顶点M的坐标为（4，3）或（4，-3）。 当M（4，3）时，设求得这时，



，将A（1，0）代入，

。



当M（4，-3）时，同理可得这时



。

。

例2、已知不等式成立，且抛物线

对于任何实数x都经过

和

两点，抛物线的顶点为C，且△ABC是等边三角形，求抛物线的解析式。 解析：

成立，说明

且

，抛物线在x轴

下方，且与x轴无交点。

由点A与点B的纵坐标相等，得对称轴方程为

，线段AB之长为4+2=6。由△ABC为正三

角形，可求得AB边上的高为轴下方，故坐标为

。因为抛物线顶点在x。

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