高考数学复习点拨：运用韦恩图解题“三层次”

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运用韦恩图解题“三层次”

由于图形简明、直观，因此很多数学问题解题往往借助于图形来分析，下面例析运用集合中“韦恩图”解题的三层次：识图——用图——构图．

一、识图

是指给出韦恩图形式，用集合的交、并及补等集合的运算表示． 例1 如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是( )

(A) （M∩P）∩S (B) （M∩P）∪S (C) （M∩P）∩ðI S (D) （M∩P）∪ðI S

解：阴影部分是M与P的公共部分(转化为集合语言就是M∩P)，且在S的外部(转化为集合语言就是ðI S)，故选(C)．

例2 用集合A、B及它们的交集、并集、补集的符号表示阴影部分的集合，正确的表达式是（ ）

(A) (A∪B)－(A∩B) (B) ðU (A∩B)

(C) (A∩ðUB)∪(ðUA∩B) (D) ðU (A∪B)∩ðU (A∩B)

解：阴影有两部分，左边部分在A内且B外(转化成集合语言就是A∩ðUB)，右边部分在B内且A外(转化成集合语言就是ðUA∩B)，故选(C)．

二、用图

例3设U是全集，非空集合P、Q 满足PQU，若含P、Q 的一个集合运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是_______（只要写出一个表达式）.

解 将集合语言用韦恩图表示， 如图1，极易得到其多种答案：

P

本卷第1页（共3页）

U

A

B

Q

U

图1




⑴ðrUQ∩P； ⑵P∩(ðrUP∩Q)； ⑶ðrUQ∩(P∪Q)；等等.

例4 已知全集I＝N*，集合A={x│x=2n，n∈N*}，B={x│x＝4n，n∈N*}，则 ( )

(A) IAB

(B)IðIAB

I

BA

I

(C) IAðIB (D) I痧IA解：根据题意，易得B

B

图2

A，画出韦恩图

(如图2)，显然I＝A∪ðIB，故选(C)．

例5 设全集U ＝{x|0＜x≤10，x∈N*}，若A∩B＝{3}，A∩ðUB＝{1，5，7}，ðUA∩ðUB＝{9}，求A，B．

分析：本题关系较为复杂，由推理的方法较难，而用韦恩图，则显得简捷． 解：由U ＝{1，2，3，…，9}，据题意，画韦恩图，如右图，易得A＝{1，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．



三、构图

对于某些应用题，若能构造韦恩图求解，可使问题变得简单明了． 例6 某班50名学生中，会讲英语的有36人，会讲日语的有20人，既会讲英语又会讲日语的有14人，问既不会讲英语又不会讲日语的有多少人？

解：设全集U＝{某班50名学生}，A＝{会讲英语的学生}，B＝{会讲日语的学生}，A∩B＝{既会讲英语又会讲日语的学生}，则由韦恩图知，既不会英语又不会日语的学生有：50－22－14－6＝8(人)．



本卷第2页（共3页）

U

A

1 5

3

B2 4

9

7

6 8

A

22

AB

B

U

(14)

(6)

(50)

痧UA

U

B

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