初中数学握手问题探究

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初中数学握手问题探究

作者：万昱

来源：《新课程·上旬》 2013年第23期



文/万 昱

【问题1】

初一（9）班共有学生50人，在班会课上每位同学之间两两握手致意，请问他们一共握手多少次？

分析：对于这个问题，我们可以这样分析：假设第1个学生分别和其他49个学生握手，可以握手49次；第2个学生也分别和其他49个学生握手，可握手49次……依此类推，第50个学生分别和其他49个学生握手，可握手49次，他们共握手50×49次，但此时第1个学生与第2个学生握手，后面第2个学生又和第1个学生握手，如此每两人之间互相握手计算了两次有重复.因此需要除以2，50个学生每两人之间握手一次共握了50x49=1225（次）.

归纳：如果该班有n个学生，每位学生之间两两握手一次，全班共有n(n-1)/2次握手.

【问题2】

初三（9）班共有学生50人，在班会课上每位同学之间两两赠送对方本人的一张照片一次，请问他们一共赠送照片多少次？

分析：对于这个问题，我们可以这样分析：假设第1个学生分别赠送其他49个学生本人的照片，可以赠送49张；假设第2个学生分别赠送其他49个学生本人的照片，可以赠送49张……依此类推，第50个学生分别赠送其他49个学生本人的照片，可以赠送49张，共赠送照片50×49张，而此时第1个学生赠送给第2个学生的照片，后面第2个学生赠送给第1个学生的照片，他们之间赠送的照片是不同的没有重复，如此每两人之间握赠送照片按一次计算.因此，50个学生每人之间赠送一张照片共赠送了50×49次.

归纳：如果该班有n个学生，每位学生之间两两赠送照片一次，全班共赠送照片n（n-1）次.

【问题3】

甲乙两支足球队比赛结束后，双方队员互相握手表示友好，双方各有队员11人，则他们一共握手多少次？

分析：甲足球队每位队员与乙足球队每位队员握手11次，而甲队有11位球员，所以共握手11×11=121（次）.

归纳：如果甲队有m人，乙队有n人，双方队员互相握手一次，共有mn次握手.

“握手问题”在初中数学上的应用比较广泛，现举例如下：

【代数题型】


例1.（单循环比赛问题）某市篮球比赛共有20个代表队参赛，采用单循环赛，即每队之间只比赛一场，问这20个代表队一共比赛多少场？

分析：采用单循环赛，每队之间只比赛一场，就好像两个学生之间握手一次，其中n=20，按照“握手解法”，共比赛20x19/2=190（场）.

例2.（双循环比赛问题）某区篮球比赛共有10个代表队参赛，采用双循环赛，即所有参赛队伍在竞赛中均能相遇两次，问这10个代表队一共比赛多少场？

分析：采用双循环赛，每队之间比赛两场，就好像两个学生之间赠送照片，两队之间比赛两场是不同的，通常分为主客场2场比赛.其中n=20，按照“送照片解法”，共比赛10×9=90（场）.

例3．（设计单程车票）某城际轻轨列车在甲、乙两城市间来回行驶，除甲、乙两城市外，轻轨火车中途还需停靠8个站点，请问从甲城市发车去往乙城市单程列车，共需要设计多少种车票？

分析：中途有8个站，假设分别是A、B、C…H，这样从甲城市到乙城市一共有10个站点，因为从甲发车去往乙，需要设计准备甲到乙的单程车票.如需要设计甲到A站点的车票，但不需要设计A站点到甲的车票，需要设计甲到B站点的车票，但不需要准备B站点到甲的车票.所以按照“握手解法”，共需要准备10x9/2=45（种）车票.

例4．（设计往返车票）某城际轻轨火车在甲、乙两城市间来回行驶，除甲、乙两城市外，轻轨火车中途还需停靠8个站点，请问该轻轨火车在甲乙城市之间运行，共需要设计多少种车票？

分析：中途有8个站，假设分别是A、B、C…H，这样从甲城市到乙城市一共有10个站点，列车在甲乙之间运行，需要准备甲到乙，乙到甲的往来车票.照按照“送照片解法”，共需要准备10×9=90（种）车等.

例5．（改编自美国数学科普大师马丁·伽德纳的握手问题）一位先生说：“前些日子，我同我太太一起参加了一个宴会，酒席上还有另外4对夫妻.见面时，大家互相问候并亲切握手.当然，没有人会去同自己的太太握手，自己也不会同自己握手，与同一个人握手之后，也不可能再同他或她进行第二次握手，请问我们5对夫妻一共握手多少次？”

分析：宴会上共有10人，任何人都不同自己握手，也不同自己的配偶握手，所以每个人同除自己、自己配偶意外的其他8人握手，按照“握手解法”一次共握手10x8/2=40（次）.

【几何题型】

例6．平面上有10个点，任意三点不在一条直线上，那么过两点画一条直线，共可画多少条直线？

分析：平面上的10个点可以看成是10个学生，过两点画一条直线，可以看成是两个学生之间握手一次，其中n=10，按照“握手解法”，共可画直线10x9/2=45（条）.

例7．一条直线上共有6个点，那么这条直线上共有几条线段？

分析：一条直线上共有6个点可以看成是6个学生，每两点之间构成一条线段，可以看成是两个学生之间握手一次，其中n=6，按照“握手解法”，共可构成线段6x5/2=15（条）.




例8．n边形共有多少条对角线？

分析：n边形共有n个顶点，从一个顶点出发与自身、自身左右相邻的两个顶点不能连接对角线，可以和除上述3个点以外的顶点连接对角线。假设有顶点A1，A2，……An，点A1与除自己相邻的A2、An外，与剩余的A3……An-1连成（n-3）条对角线，点A2与除自己相邻的A1、A3外，与剩余的A4……An连成（n-3）条对角线，点A3与除自己相邻的A2、A4外，与剩余的A5……An，A1连成（n-3）条对角线……n边形上每不相邻两点之间连成一条对角线，可以看成是两个学生之间握手一次，参考“握手解法”，n边形的对角线共有n(n-3)/2条.

以上几题，充分体现了数学与生活的密切联系，有助于了解数学的价值，增进学好数学的信心.数学来源于实际生活又服务于实际生活，学数学，做数学，用数学.微分方程定性理论的创始人、组合拓扑学的奠基人、法国伟大的数学家H·庞加莱曾经说过：“数学家不单单因为数学有用而研究数学，他研究它还因为他喜欢它，而他喜欢它则是因为它是美丽的!”

（作者单位 广东省珠海市第四中学）

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