2021年全国高考甲卷数学(理)试题(解析版)

2022-07-06 22:27:00   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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绝密启用前

2021年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项:

1.答卷前,考生务必将自己的姓名准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用皮擦干净后,再选涂其他答案标号,回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

选择题:本题共12小题,每小题5分,共60.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合Mx0x4,Nx



1

x5,则M3

N

A. x0x B. x

1

31

x4 C. x4x5 D. x0x5 3

11

x5},所以MNx|x4,故选:B. 33

【详解】因为M{x|0x4},N{x|

【点睛】本题考查集合的运算,属基础题,在高考中要求不高,掌握集合的交并补的基本概念即可求解. 2. 为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:








根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是( A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B. 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D. 估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率,即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率,然后求和即得到样本的平均数的估计值,也就是总体平均值的估计值,计算后即可判定C. 【详解】因为频率直方图中的组距为1,所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.

该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.020.040.066%,A正确; 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.040.0230.1010%,B正确; 该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值0.100.140.2020.6464%50%,D正确;

该地农户家庭年收入的平均值的估计值为

30.0240.0450.1060.1470.2080.2090.10100.10110.04120.02130.02140.027.68(万元)超过

6.5万元,故C错误.综上,给出结论中不正确的是C.故选:C.

【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值,属基础题,样本的频率可作为总体的频率的估计值,样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值,可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于

频率

组距. 组距

3. 已知(1i)2z32i,则z A. 1

3i 2

B. 1

3i 2

C.

3i 2

D.

3i 2

【分析】由已知得z

32i

,根据复数除法运算法则,即可求解. 2i

32i(32i)i23i3

1i.故选:B. 2i2ii22

【详解】(1i)2z2iz32iz

4. 青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足L5lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为( 10101.259




A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6

分析】根据L,V关系,当L4.9时,求出lgV,再用指数表示V,即可求解. 【详解】由L5lgV,当L4.9时,lgV0.1,则V10故选:C.

0.1

110

10



A.

10

110.8. 101.259

5. 已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,PC上一点,且F1PF260,PF13PF2,则C的离心率为

7

2

B.

13 2

C. 7 D. 13

【分析】根据双曲线的定义及条件,表示出PF1,PF2,结合余弦定理可得答案.

【详解】因为PF由双曲线的定义可得PF所以PF2aPF 13PF21PF22PF22a13a因为F1PF260,由余弦定理可得4c29a2a223aacos60,整理可得4c27a2,所以

c277

.故选:A e2,即e

a42

2

【点睛】关键点睛:双曲线的定义是入手点,利用余弦定理建立a,c间的等量关系是求解的关键. 6. 在一个正方体中,过顶点A的三条棱的中点分别为EFG.该正方体截去三棱锥AEFG后,所得多面体的三视图中,正视图如图所示,则相应的侧视图是(



A. B. C. D.

【分析】根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图,结合直观图进行判断. 【详解】由题意及正视图可得几何体的直观图,如图所示,




所以其侧视图为故选:D

7. 等比数列an的公比为q,前n项和为Sn,设甲:q0,乙:Sn是递增数列,则( A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件

D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【分析】当q0时,通过举反例说明甲不是乙的充分条件;当Sn是递增数列时,必有an0成立即可说明q0成立,则甲是乙的必要条件,即可选出答案. 【详解】由题,当数列

2,4,8,时,满足q0

但是Sn不是递增数列,所以甲不是乙的充分条件.

Sn是递增数列,则必有an0成立,q0不成立,则会出现一正一负的情况,是矛盾的,q0成立,所以甲是乙的必要条件.故选:B

【点睛】在不成立的情况下,我们可以通过举反例说明,但是在成立的情况下,我们必须要给予其证明过程.

8. 2020128日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位:m,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图,现有ABC三点,且ABC在同一

ABC60水平面上的投影A,B,C满足ACB45C点测得B点的仰角为15BBCC

的差为100;由B点测得A点的仰角为45,则AC两点到水平面ABC的高度差AACC约为31.732



A. 346 B. 373 C. 446 D. 473




【分析】通过做辅助线,将已知所求量转化到一个三角形中,借助正弦定理,求得A'B',进而得到答案.

详解】



CCHBB',过BBDAA' 所以AA'CC'DB100A'B'100 因为BCH15,所以CHC'B'A'B'C'中,由正弦定理得:

AA'CC'AA'BB'BHAA'BB'100AD100 由题,易知ADB为等腰直角三角形,所以ADDB

100



tan15

A'B'C'B'100100



sin45sin75tan15cos15sin15

sin15sin(4530)sin45cos30cos45sin30

62

4

所以

1004

A'B'

2

2100(31)273 62

所以AA'CC'A'B'100373 故选:B

【点睛】本题关键点在于如何正确将AA'CC'的长度通过作辅助线的方式转化为A'B'100 9. 0,

cos

,tan2,则tan

2sin2

B.

5

5

A.

15 15

C.

5 3

D.

15 3

【分析】由二倍角公式可得tan2角函数的基本关系即可求解.

sin22sincos1

sin,再结合已知可求得,利用同角三

4cos212sin2




【详解】

cos



2sin

sin22sincoscos

tan2

cos212sin22sin

tan2

2sin11

0,cos0sin,解得 2

2412sin2sin

cos1sin2

15sin15

.故选:A. tan

4cos15

【点睛】关键点睛:本题考查三角函数的化简问题,解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin. 10. 4120随机排成一行,则20不相邻的概率为( A.

1

3

B.

2 5

C.

2 3

D.

4 5

【分析】采用插空法,41产生5个空,分20相邻和20不相邻进行求解.

【详解】将4120随机排成一行,可利用插空法,41产生5个空,若20相邻,则有C55种排法,若20不相邻,则有C510种排法,所以20不相邻的概率为

2

1

102

.故选:C. 5103

11. 已如ABC是半径为1的球O的球面上的三个点,且ACBC,ACBC1,则三棱锥OABC的体积为( A.

2 12

B.

3 12

C.

2 4

D.

3 4

【分析】由题可得ABC为等腰直角三角形,得出ABC外接圆的半径,则可求得O到平面ABC的距离,进而求得体积. 【详解】

ACBC,ACBC1ABC为等腰直角三角形,AB2

ABC外接圆的半径为

2

2

,又球的半径为1,设O到平面ABC的距离为d 2

1122

.故选:A. d11ABC

32212

212

d12,所以VSOABC232

【点睛】关键点睛:本题考查球内几何体问题,解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.

12. 设函数fx的定义域为Rf

x1,2时,f(x)axx1为奇函数,fx2为偶函数,

2

b

9

f0f36,则f

2




A.

9 4

B.

3 2

C.

7 4

D.

5 2

【分析】通过

fx1是奇函数和fx2是偶函数条件,可以确定出函数解析式fx2x22,进

而利用定义或周期性结论,即可得到答案.

fx1fx1fx1fx2

fx2fx2

x1,由得:f0f24ab,由得:f3f1ab 因为f0f36,所以4abab6a2

x0,由得:f1f1f10b2,所以fx2x2

2

思路一:从定义入手.

9551ff2f2f 22221335ff1f1f 22225

ff2

所以f

1

2f21

2=23

f 2

9

f235

22

思路二:从周期性入手

由两个对称性可知,函数fx的周期T所以f

4

91

ff2235

22

故选:D

【点睛】在解决函数性质类问题的时候,我们通常可以借助一些二级结论,求出其周期性进而达到简便计算的效果.

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13. 曲线y

2x1

在点1,3处的切线方程为__________ x2

【答案】5xy20




【分析】先验证点在曲线上,再求导,代入切线方程公式即可. 【详解】由题,当x1时,y3,故点在曲线上. 求导得:y

2x22x1

x2

2



5

x2

2

,所以y|x15.故切线方程为5xy20

故答案为:5xy20

14. 已知向量a3,1,b1,0,cakb.若ac,则k________

【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量c的坐标,利用向量的数量积为零求得k的值 【详解】

a3,1,b1,0,cakb3k,1,

1010,故答案为:. 33

ac,ac33k110,解得k

【点睛】本题考查平面向量的坐标运算,平面向量垂直的条件,属基础题,利用平面向量

px1,y1,qx2,y2垂直的充分必要条件是其数量积x1x2y1y20.

22

xy

15. 已知F1,F2为椭圆CPQC上关于坐标原点对称的两点,PQF1两个焦点,1F2

164

则四边形PFQF12的面积为________

mn,四【分析】根据已知可得PF1PF2,设|PF1|m,|PF2|n,利用勾股定理结合mn8,求出mn,即可求解. 边形PFQF12面积等于

【详解】因为P,QC上关于坐标原点对称的两点, |PQ||F1F2|,所以四边形PFQF12为矩形,

22|PF1|m,|PF2|n,则mn8,mn48

所以64(mn)2m22mnn2482mn

mn8,即四边形PFQF12面积等于8.

故答案

8.

16. 已知函数fx2cos(x)的部分图像如图所示,则满足条件



f(x)7f4

f(x)4f3

0的最小正整数x________








【分析】先根据图象求出函数f(x)的解析式,再求出f(正整数或验证数值可得. 【详解】由图可知T由五点法可得2

7

),f()的值,然后求解三角不等式可得最小43

3

41332

,即T,所以2

1234



3





2

,即



6



所以f(x)2cos2x







. 6

因为f(

7)2cos1f()2cos0 4332

所以由(f(x)f(

74

))(f(x)f())0可得f(x)1f(x)0 43

因为f12cos2





2cos1,所以, 626







0 6

方法一:结合图形可知,最小正整数应该满足f(x)0,即cos2x

解得k

5xk,kZ,令k0,可得x

3636

可得x的最小正整数为2.

方法二:结合图形可知,最小正整数应该满足f(x)0f(2)2cos4最小正整数为2.故答案为:2.

【点睛】关键点睛:根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键,根据周期求解,根据特殊点求解.





0符合题意,可得x6




三、解答题:共70分.解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤,第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答.第2223题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分.

17. 甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产200件产品,产品的质量情况统计如下表:

甲机床 乙机床 合计

一级品 150 120 270

二级品 50 80 130

合计 200 200 400

1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?

2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?

n(adbc)2

附:K

(ab)(cd)(ac)(bd)

2

PK2k 0.050 0.010

k

0.001

3.841 6.635 10.828

【答案】175%60%2)能. 【解析】

【分析】本题考查频率统计和独立性检验,属基础题,根据给出公式计算即可 【详解】1)甲机床生产的产品中的一级品的频率为

150

75%, 200

乙机床生产的产品中的一级品的频率为

120

60%. 200

2K2

4001508012050270130200200

2



400

106.635, 39

故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.

18. 已知数列an的各项均为正数,记Snan的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.




①数列an是等差数列:②数列

S是等差数列;③a

n

2

3a1

注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.

【分析】选①②作条件证明③时,可设出Sn,结合an,Sn的关系求出an,利用an是等差数列可证

a23a1

选①③作条件证明②时,根据等差数列的求和公式表示出Sn,结合等差数列定义可证;

选②③作条件证明①时,设出Snanb结合an,Sn的关系求出an根据a23a1可求b然后可证an是等差数列.

【详解】选①②作条件证明③:

S2

nanb(a0),则Snanb n1时,a2

1S1ab

n2时,a2

2

nSnSn1anbanaba2ana2b

因为an也是等差数列,所以ab2

a2aa2b,解得b0

所以a2

na

2n1,所以a23a1.

选①③作条件证明②:

因为a23a1an是等差数列, 所以公差da2a12a1 所以Sn1

nna1

n2

dn2a1,即Sna1n 因为Sn1Sna1n1a1na1

所以

Sn

是等差数列.

选②③作条件证明①:

Sb(a0),则S2

nannanb n1时,a2

1S1ab

n2时,a2

nSnSn1anbanab2

a2ana2b




因为a23a1,所以a3a2b3ab,解得b0bb0时,a1a,ana数列; b

2

2

2

4a 3

2n1,当n2时,an-an-12a2满足等差数列的定义,此时an为等差

4a4a

时,Snanb=anaS10不合题意,舍去.

333

综上可知an为等差数列.

【点睛】这类题型在解答题中较为罕见,求解的关键是牢牢抓住已知条件,结合相关公式,逐步推演,等差数列的证明通常采用定义法或者等差中项法.

19. 已知直三棱柱ABCA1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,ABBC2EF分别为ACCC1的中点,D为棱A1B1上的点.BFA1B1



1)证明:BFDE

2)当B1D为何值时,面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小? 【答案】1)见解析;2B1D【解析】

【分析】通过已知条件,确定三条互相垂直的直线,建立合适的空间直角坐标系,借助空间向量证明线线垂直和求出二面角的平面角的余弦值最大,进而可以确定出答案.

【详解】因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱,所以BB1底面ABC,所以BB1AB 因为A1B1//ABBFA1B1,所以BFAB BB1BFB,所以AB平面BCC1B1 所以BA,BC,BB1两两垂直.

1 2




B为坐标原点,分别以BA,BC,BB1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图.



所以B0,0,0,A2,0,0,C0,2,0,B10,0,2,A12,0,2,C10,2,2

E1,1,0,F0,2,1

由题设Da,0,20a2

1)因为BF0,2,1,DE1a,1,2

所以BFDE01a21120,所以BFDE 2)设平面DFE的法向量为mx,y,z 因为EF1,1,1,DE1a,1,2

所以

mEF0mDE0

,即

xyz0



1axy2z0

z2a,则m3,1a,2a

因为平面BCC1B1的法向量为BA2,0,0 设平面BCC1B1与平面DEF的二面角的平面角为 cosa

mBAmBA



6

22a2a14

2



32a2a14

2



127

时,2a22a4取最小值为 22




36



此时cos取最大值为273

2

所以sin此时B1D

min

63

133

2

1

2

【点睛】本题考查空间向量的相关计算,能够根据题意设出Da,0,20a2,在第二问中通过余弦值最大,找到正弦值最小是关键一步.

20. 抛物线C的顶点为坐标原点O.焦点在x轴上,直线lx1CPQ两点,且OPOQ.已知M2,0,且1)求C

Ml相切.

M的方程;

M相切.判断直线A2A3M的位置关系,

2)设A1,A2,A3C上的三个点,直线A1A2A1A3均与并说明理由.

【答案】1)抛物线C:y2x【解析】

M方程为(x2)2y212)相切,理由见解析

【分析】1根据已知抛物线与x1相交,可得出抛物线开口向右,设出标准方程,再利用对称性设出P,Q坐标,由OPOQ,即可求出p;由圆M与直线x1相切,求出半径,即可得出结论;

2)先考虑A1A2斜率不存在,根据对称性,即可得出结论;若A1,A2,A31A2,A1A3,A2A3斜率存在,由A点在抛物线上,将直线A1A2,A1A2,A2A3斜率分别用纵坐标表示,再由A1A2,A1A2与圆M相切,得出

y2y3,y2y3y1的关系,最后求出M点到直线A2A3的距离,即可得出结论.

【详解】1)依题意设抛物线C:y2px(p0),P(1,y0),Q(1,y0)

2

OPOQ,OPOQ1y012p0,2p1

2

所以抛物线C的方程为y2x

M(0,2),Mx1相切,所以半径为1

所以

M的方程为(x2)2y21




2)设A1(x1y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)

A1A2斜率不存在,则A1A2方程为x1x3 A1A2方程为x1,根据对称性不妨设A1(1,1) 则过A1与圆M相切的另一条直线方程为y1

此时该直线与抛物线只有一个交点,即不存在A3,不合题意; A1A2方程为x3,根据对称性不妨设A1(3,3),A2(3,3), 则过A1与圆M相切的直线A1A3y3

3

(x3) 3

kA1A3

y1y3113

,y30

x1x3y1y333y3

x30,A3(0,0),此时直线A1A3,A2A3关于x轴对称,

所以直线A2A3与圆M相切; 若直线A1A2,A1A3,A2A3斜率均存在, kA1A2

111

,kA1A3,kA2A3

y1y2y1y3y2y3

1

xx1

y1y2

所以直线A1A2方程为yy1

整理得x(y1y2)yy1y20

同理直线A1A3的方程为x(y1y3)yy1y30 直线A2A3的方程为x(y2y3)yy2y30

A1A2与圆M相切,

2

2

|2y1y2|1(y1y2)

2

2

1

整理得(y11)y22y1y23y10

22

A1A3与圆M相切,同理(y11)y32y1y33y120

所以y2,y3为方程(y11)y2y1y3y10的两根,

222




2y13y12

y2y32,y2y32

y11y11

M到直线A2A3的距离为:

3y12

|22|

|y121|y121|2y2y3|y11

21 2222y12y(y11)4y111(y2y3)1(21)2

y11

所以直线A2A3与圆M相切;综上若直线A1A2,A1A3与圆M相切,则直线A2A3与圆M相切.

【点睛】关键点点睛:1)过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标(或横坐标)表示,将问题转化为只与纵坐标(或横坐标)有关;2)要充分利用A1A2,A1A3的对称性,抽象y2y3,y2y3y1关系,把

y2,y3的关系转化为用y1表示.

xa

21. 已知a0a1,函数f(x)x(x0)

a

1)当a2时,求fx的单调区间;

2)若曲线yfx与直线y1有且仅有两个交点,求a的取值范围. 【答案】10,【解析】

【分析】1)求得函数的导函数,利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性; 2)利用指数对数的运算法则,可以将曲线yfx与直线y1有且仅有两个交点等价转化为方程



22

,上单调递增;21,ee,. 上单调递减;ln2ln2

lnxlnaa

有两个不同的实数根,即曲线ygx与直线y有两个交点,利用导函数研究gxxalna

lna1

,发现这正好是单调性,并结合gx的正负,零点和极限值分析gx的图象,进而得到0ae

0gage,然后根据gx的图象和单调性得到a的取值范围.

x

x22x2xx22xln2x22xln2, 【详解】1)当a2时,fxx,fx2xx242



f'x0x函数fx0,

222

,0x时,fx0,x时,fx0, ln2ln2ln2

22

,上单调递增;上单调递减; ln2ln2




lnxxalnxlna

,设函数gx, 2fxx1axxaxlnaalnx

xaxa

gx

1lnx

,gx0,得xe, 2

x

0,egx0,gx单调递增; e,gx0,gx单调递减;

gxmaxge

1, e

g10,当x趋近于时,gx趋近于0

所以曲线yfx与直线y1有且仅有两个交点,即曲线ygx与直线y要条件是0

a

有两个交点的充分必lna

lna1

,这即是0gage, ae

所以a的取值范围是1,ee,.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题,属较难试题,关键是将问题进行等价转化,分离参数,构造函数,利用导数研究函数的单调性和最值,图象,利用数形结合思想求解.

(二)选考题:共10分.请考生在第2223题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.

[选修4-4:坐标系与参数方程]10分)

22. 在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为

22cos

1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程;

2)设点A的直角坐标为1,0MC上的动点,点P满足AP程,并判断CC1是否有公共点. 【答案】1x2

2AM,写出Р的轨迹C1的参数方



2

x322cos

2P的轨迹C1的参数方程为为参数)Cy2

y2sin

2

C1没有公共.

【解析】

【分析】1)将曲线C的极坐标方程化为222cos,将xcos,ysin代入可得;




2)设Px,y,设M



22cos,2sin,根据向量关系即可求得P的轨迹C1的参数方程,求出



两圆圆心距,和半径之差比较可得.

【详解】1)由曲线C的极坐标方程22cos可得222cos xcos,ysin代入可得x2y222x,即x2即曲线C的直角坐标方程为x22)设Px,y,设M



2

y22



2

y22



22cos,2sin



AP2AM

x1,y2





22cos1,2sin22cos2,2sin



x122cos2x322cos

,即

y2siny2sin

x322cosP的轨迹C1的参数方程为为参数)

y2sin

曲线C的圆心为



2,0,半径为2,曲线C1的圆心为32,0,半径为2



则圆心距为322

32222两圆内含,

故曲线CC1没有公共.

【点睛】关键点睛:本题考查参数方程的求解,解题的关键是设出M的参数坐标,利用向量关系求解.

[选修4-5:不等式选讲]10分)

23. 已知函数f(x)x2,g(x)2x32x1






1)画出yfxygx的图像; 2)若fxagx,求a的取值范围. 【答案】1)图像见解析;2a【解析】

【分析】1)分段去绝对值即可画出图像;

2)根据函数图像数形结和可得需将yfx向左平移可满足同角,求得yfxaA11

2

1,4a的值可求.

【详解】1)可得f(x)x22x,x2



x2,x2,画出图像如下:





4,x3

2g(x)2x32x1

4x2,31

2x2,画出函数图像如下:



4,x12

2




2f(xa)|xa2|

如图,在同一个坐标系里画出fx,gx图像,

yfxayfx平移了a个单位得到,

则要使f(xa)g(x),需将yfx向左平移,即a0

1111

Ayfxa ,4时,|a2|4,解得a5(舍去)

2222

则数形结合可得需至少将yfx向左平移

1111

. 个单位,a

22



【点睛】关键点睛:本题考查绝对值不等式的恒成立问题,解题的关键是根据函数图像数形结合求解.






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