数形结合的思想

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数形结合的思想

1、 数形结合思想的概念。

数形结合思想就就是通过数与形之间的对应关系与相互转化来解决问题的思想方法。数学就是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学,数与形之间就是既对立又统一的关系,在一定的条件下可以相互转化。这里的数就是指数、代数式、方程、函数、数量关系式等,这里的形就是指几何图形与函数图象。在数学的发展史上,直角坐标系的出现给几何的研究带来了新的工具,直角坐标系与几何图形相结合,也就就是把几何图形放在坐标平面上,使得几何图形上的每个点都可以用直角坐标系里的坐标(有序实数对)来表示,这样可以用代数的量化的运算的方法来研究图形的性质,堪称数形结合的完美体现。数形结合思想的核心应就是代数与几何的对立统一与完美结合,就就是要善于把握什么时候运用代数方法解决几何问题就是最佳的、什么时候运用几何方法解决代数问题就是最佳的。如解决不等式与函数问题有时用图象解决非常简捷,几何证明问题在初中就是难点,到高中运用解析几何的代数方法有时就比较简便。

2、 数形结合思想的重要意义。

数形结合思想可以使抽象的数学问题直观化、使繁难的数学问题简捷化,使得原本需要通过抽象思维解决的问题,有时借助形象思维就能够解决,有利于抽象思维与形象思维的协调发展与优化解决问题的方法。数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直觉,形少数时难入微。”这句话深刻地揭示了数形之间的辩证关系以及数形结合的重要性。众所周知,小学生的逻辑思维能力还比较弱,在学习数学时必须面对数学的抽象性这一现实问题;教材的编排与课堂教学都在千方百计地使抽象的数学问题转化成学生易于理解的方式呈现,借助数形结合思想中的图形直观手段,可以提供非常好的教学方法与解决方案。如从数的认识、计算到比较复杂的实际问题,经常要借助图形来理解与分析,也就就是说,在小学数学中,数离不开形。另外,几何知识的学习,很多时候只凭直接观察瞧不出什么规律与特点,这时就需要用数来表示,如一个角就是不就是直角、两条边就是否相等、周长与面积就是多少等。换句话说,就就是形也离不开数。因此,数形结合思想在小学数学中的意义尤为重大。 3、 数形结合思想的具体应用。

数形结合思想在数学中的应用大致可分为两种情形:一就是借助于数的精确性、程序性与可操作性来阐明形的某些属性,可称之为“以数解形”;二就是借助形的几何直观性来阐明某些概念及数之间的关系,可称之为 “以形助数”。数形结合思想在中学数学的应用主要体现在以下几个方面:(1)实数与数轴上的点的对应关系;(2)函数与图象的对应关系;(3)曲线与方程的对应关系;(4)与几何有关的知识,如三角函数、向量等;(5)概率统计的图形表示;(6) 在数轴上表示不等式的解集;(7)数量关系式具有一定的几何意义,如s=100t。

数形结合思想在小学数学的四大领域知识的学习中都有非常普遍与广泛的应用,主要体现在以下几个方面:一就是利用“形”作为各种直观工具帮助学生理解与掌握知识、解决问题,如从低年级借助直线认识数的顺序,到高年级的画线段图帮助学生理解实际问题的数量关系。二就是数轴及平面直角坐标系在小学的渗透,如数轴、位置、正反比例关系图象等,使学生体会代数与几何之间的联系。这方面的应用虽然比较浅显,但这正就是数形结合思想的重点所在,就是中学数学的重要基础。三就是统计图本身与几何概念模型都就是数形结合思想的体现,统计图表把抽象的枯燥的数据直观地表示出来,便于分析与决策。四就是用代数(算术)方法解决几何问题。如角度、周长、面积与体积等的计算,通过计算三角形内角的度数,可以知道它就是什么样的三角形等等。 4、 数形结合思想的教学。

数形结合思想的教学,应注意以下几个问题。

第一,如何正确理解数形结合思想。数形结合中的形就是数学意义上的形,就是几何图形与图象。有些老师往往容易把利用各种图形作为直观手段帮助学生理解知识,与数形结合思想中


数形结合的思想

的“以形助数”混淆起来,彼“形”非此“形”,小学数学中的实物与图片作为理解抽象知识的直观手段,很多时候就是生活意义上的形,并不都就是数形结合思想的应用,如6+1=7,可以通过摆各种实物与几何图片帮助学生理解加法的算理,这里的几何图片并不就是数形结合中的形,因为这里并不关心几何图片的形状与大小,用什么形状与大小的图片都行,并没有赋予图片本身形状与大小的量化的特征,甚至不用图片用小棒等材料也能起到相同的作用,因而它更就是生活中的形。如果结合数轴(低年级往往用类似于数轴的尺子或直线)来认识数的顺序与加法,那么就把数与形(数轴)建立了一一对应的关系,便于比较数的大小与进行加减法计算,这就是真正的数形结合。由于在解决实际问题时,通过画线段图帮助学生分析数量关系就是老师与学生都非常熟悉的内容,因此在案例中不再出现这方面素材。 案例1: ＋ ＋ ＋ ＋…＝

分析:此题很难用小学算术的知识直接计算,因为它有无穷多个数相加,如果就是有限个数相加,用等式的性质进行恒等变换可以计算。从题中数的特点来瞧,每一项的分子都就是1,每一项的分母都就是它前一项分母的2倍,或者说第几项的分母就就是2的几次方,第n项就就是2的n次方。联想到分数的计算可用几何直观图表示,那么现在可构造一个长度或者面积就是1的线段或者正方形,不妨构造一个面积就是1的正方形,如下图所示。先取它的一半作为二分之一,再取余下一半的一半作为四分之一,如此取下去……当取的次数非常 大时,余下部分的面积已经非常小了,用极限的思想来 瞧,当取的次数趋向于无穷大时,余下部分的面积趋向 于0,因而,最后取的面积就就是1。也就就是说,上面算 式的得数就是1。

第二,适当拓展数形结合思想的应用。数形结合思想中的以数解形在中学应用的较多,小学数学中常见的就就是计算图形的周长、面积与体积等内容。除此之外,还可以创新求变,在小学几何的范围内深入挖掘素材,在学生已有知识的基础上适当拓展,丰富小学数学的数形结合思想。

案例2:用两个一样的直角三角形与一个等腰直角三角形(腰等于前两个直角三角形的斜边),可以拼一个直角梯形,如下图。如果直角三角形的边长分别就是3、4、c, 5、12、c,根据梯形的面积等于3个三角形的面积之与,比较每个直角三角形的两条直角边的平方的与,与斜边的平方之间的大小关系,您能发现什么？如果直角三角形的边长分别就是a、b、c时,您又能发现什么？

分析:当直角三角形的边长分别就是3、4、c时, 梯形的面积就是:(3+4)×(3+4)÷2=24、5, 3个三角形 的面积与就是:3×4÷2×2+c²÷2=24、5,可得c²=25, 即c²＝3²+4²。

当直角三角形的边长分别就是5、12、c时, 梯形的面积就是:(5+12)×(5+12)÷2=144、5,

3个三角形的面积与就是:5×12÷2×2+ c²÷2=144、5, 可得c²=169, 即c²＝5²+12²。

当直角三角形的边长分别就是a、b、c时,也就就是说直角三角形的三条边长可以取任意不同的值的时候,仍然有梯形的面积等于3个三角形的面积之与。 梯形的面积就是:(a+b)×(a+b)÷2,

3个三角形的面积与就是:a×b÷2×2+c²÷2=(2ab+c²)÷2。 (a+b)×(a+b)÷2 =[a(a+b)+b(a+b)]÷2

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