专题复习：三角函数的综合应用题编

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专题复习：三角函数的综合应用题编

(推荐时间：70分钟)

1． 设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cos x,1)，b＝(cos x，3sin 2x)，x∈R.

ππ

(1)若函数f(x)＝1－3，且x∈－，，求x的值；

33

(2)求函数y＝f(x)的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．



解 (1)依题设得f(x)＝2cos2x＋3sin 2x＝1＋cos 2x＋3sin 2x＝π

2sin2x＋＋1.

6

ππ3

由2sin2x＋＋1＝1－3，得sin2x＋＝－.

662∵－

ππππ5π≤x≤，∴－≤2x＋≤， 33266πππ

＝－，即x＝－. 634

πππ

＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)， 262

∴2x＋

(2)当－即－

ππ

＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)时，函数y＝f(x)单调递增，即函数y＝f(x)36

ππ

的单调增区间为－＋kπ，＋kπ(k∈Z)，

63

x y



0 2

π 63

π 32

π 20

1

2π5π π 36－1

0

2






2． 已知向量a＝(cos x＋3sin x，3sin x)，b＝(cos x－3sin x，2cos x)，

函数f(x)＝a·b－cos 2x. (1)求函数f(x)的值域；

1ππ

(2)若f(θ)＝，θ∈，，求sin 2θ的值．

563解 (1)f(x)＝a·b－cos 2x

＝(cos x＋3sin x)(cos x－3sin x)＋3sin x·2cos x－cos 2x ＝cos2x－3sin2x＋23sin xcos x－cos 2x ＝cos2x－sin2x－2sin2x＋23sin xcos x－cos 2x ＝cos 2x＋3sin 2x－1 π

＝2sin2x＋－1，

6

f(x)的值域为[－3,1]．

π

(2)由(1)知f(θ)＝2sin2θ＋－1，

6

ππ31

由题设2sin2θ＋－1＝，即sin2θ＋＝，

6655ππ5πππ

∵θ∈，，∴2θ＋∈，，

36626π4

∴cos2θ＋＝－，

65

πππππ

∴sin 2θ＝sin2θ＋－＝sin2θ＋cos －cos2θ＋sin

66666π

6

334133＋4＝×－－×＝. 525210



2




1

3． 已知向量m＝sin A，与n＝(3，sin A＋3cos A)共线，其中A是△ABC

2的内角．

(1)求角A的大小；

(2)若BC＝2，求△ABC面积S的最大值．

3

解 (1)∵m∥n，∴sin A·(sin A＋3cos A)－＝0.

2∴即

1－cos 2A33

＋sin 2A－＝0， 22231

sin 2A－cos 2A＝1， 22

π

即sin2A－＝1.

6∵A∈(0，π)，∴2A－故2A－

ππ11π

. ∈－，

666

πππ

＝，A＝. 623

(2)∵BC＝2，由余弦定理得b2＋c2－bc＝4，

又b2＋c2≥2bc，∴bc≤4(当且仅当b＝c时等号成立)， 133

从而S△ABC＝bcsin A＝bc≤×4＝3.

244即△ABC面积S的最大值为3.

cos A－3cos C3c－a

4． 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.

cos Bb

sin C

(1)求的值；

sin A

(2)若B为钝角，b＝10，求a的取值范围． 解 (1)由正弦定理，设则3c－a

＝

asin A

＝

bsin B

＝

csin C

＝k，

b

3ksin C－ksin A3sin C－sin A

＝，

ksin Bsin B

所以

cos A－3cos C3sin C－sin A

＝，

cos Bsin B

3




即(cos A－3cos C)sin B＝(3sin C－sin A)cos B， 化简可得sin(A＋B)＝3sin(B＋C)． 又A＋B＋C＝π，所以sin C＝3sin A， sin C因此＝3.

sin A(2)由

sin C

＝3得c＝3a. sin A

a＋c>b

由题意知2

22

a＋c<b



，

5

又b＝10，所以<a<10.

2

ππ

其中x∈R，A>0，ω>0，－<φ<的部分5． 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)

22图象如图所示．



(1)求函数f(x)的解析式；

(2)已知函数f(x)的图象上的三点M，N，P的横坐标分别为－1,1,5，求sin∠MNP的值．

解 (1)由图可知，A＝1，最小正周期T＝4×2＝8. 由T＝

2ππ

＝8，得ω＝. ω4

πππ

又f(1)＝sin＋φ＝1，且－<φ<，

224所以

πππ

＋φ＝，解得φ＝. 424

ππ

所以f(x)＝sinx＋.

44(2)因为f(－1)＝0，f(1)＝1，

f(5)＝sin

5ππ

＋＝－1， 44

所以M(－1,0)，N(1,1)，P(5，－1)．



4




所以|MN|＝5，|PN|＝20，|MP|＝37. 由余弦定理得 cos∠MNP＝

5＋20－373

＝－.

525×20

因为∠MNP∈(0，π)， 4

所以sin∠MNP＝.

5

6． 已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，

cos x＋2cos α)，其中0<α<x<π. (1)若α＝

π

，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应x的值； 4

π

(2)若a与b的夹角为，且a⊥c，求tan 2α的值．

3

解 (1)∵b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，α＝

π， 4

∴f(x)＝b·c＝cos xsin x＋2cos xsin α＋sin xcos x＋2sin xcos α＝2sin xcos x＋2(sin x＋cos x)．

π

令t＝sin x＋cos x<x<π，则2sin xcos x＝t2－1，且－1<t<2.

4223

则y＝t＋2t－1＝t＋－，－1<t<2，

22

2

232

∴t＝－时，ymin＝－，此时sin x＋cos x＝－，

222π2

即2sinx＋＝－，

42∵

πππ5

<x<π，∴<x＋<π， 4244

π711π

＝π，∴x＝. 4612

∴x＋

311π∴函数f(x)的最小值为－，相应x的值为.

212

5




π

(2)∵a与b的夹角为，

3∴cos

πa·b＝＝cos αcos x＋sin αsin x＝cos(x－α)． 3|a|·|b|

π

. 3

∵0<α<x<π，∴0<x－α<π，∴x－α＝∵a⊥c，

∴cos α(sin x＋2sin α)＋sin α(cos x＋2cos α)＝0， π

∴sin(x＋α)＋2sin 2α＝0，即sin2α＋＋2sin 2α＝0.

353

∴sin 2α＋cos 2α＝0， 223∴tan 2α＝－.

5

6

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