认清增根和无解

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认清“增根”和“无解”

分式方程的增根是由于把分式方程转化为整式方程时,去掉了原分式方程中分母不为0的限制条件,从而扩大了未知数的取值范围,这样,整式方程的解可能使分式方程的分母为0,分式方程无意义．因此,这个解虽然是变形后整式方程的解,但不是原分式方程的解,即为增根．可见,增根不是原分式方程的解,但却是分式方程去分母后所得整式方程的解．

分式方程无解分两种情况：一是原分式方程化为整式方程后,该整式方程无解；二是分式方程去分母后所得整式方程有解,但该解却是分式方程的增根．

可见,分式方程有增根与无解是完全不相同的,它们既有联系,又有区别．增根是无解的一种特殊情形,分式方程无解应从两个方面考虑．

一、利用分式方程有增根确定字母的值

解题妙招：解决此类问题的一般步骤是：①把分式方程化为整式方程；②求出使最简公分母为0的未知数的值；③把未知数的值分别代入整式方程,求出字母系数的值．

xm1有增根,则m的值为 x1(x1)(x2)

A.0或3 B.1 C.1或2 D.3

例1 若分式方程

解析：方程两边乘x-1x+2,得xx+2-x-1x+2=m. 解得x=m-2.

令(x1)(x2)0,解得x1或x2．

因为分式方程有增根,将x1,x2分别代入x=m-2,得m3或m0． 所以m3或m0时,原分式方程有增根．故选A． 二、利用分式方程无解求字母的值

解题妙招：解决此类问题,一定要从分式方程有增根和整式方程无解两个方面去考虑,以防出现漏解．

xa3

1无解,则a的值为 ． x1x

解析：方程两边乘xx-1,得xx-a-3x-1=xx-1.化简,得(a2)x3． 当整式方程无解时,则a20,解得a2．

当分式方程有增根时,则最简公分母x(x1)0,解得x0或x1． ①当x0时,a无解；②当x1时,a1．

所以当a1或a=2时,原分式方程无解．故填1或2．

例2 若关于x的分式方程

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