折纸中的平行四边形

2023-02-18 18:07:25   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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平行四边形,折纸
折纸中的平行四边形 福建省闽清县城关中学 张维强

学完了平行四边形的判定之后,我给学生上了一节活动课,利用一张长方形纸片让学生折平行四边形,并根据平行四边形的判定进行说理和证明。学生参与探索的积极性非常高,既动手操作,又结合说理与证明,提高了应用知识解决实际问题的能力,收到了很好的教学效果,现实录教学过程,与同行共同商讨。

在复习了平行四边形的五个判定方法后,我展示了一张长方形纸片,要求学生利用正方形纸片折

EH出一个平行四边形,并说出理由。 AD

最先传上来的是如图1所示的图形,长方 ABCD中,沿BE折叠,使点ABC边上 的点F 重合;沿DG折叠,使点CAD边上 的点H 重合。则四边形BGDE是不是平行四边

BCFG

形呢?你能用学过的平行四边形判定来证明四边

1

BGDE是平行四边形吗?大家动手探索证明的方法, 以证明两组对边分别平行为例证明如下:

证明:如图1,∵四边形ABCD是长方形,∴ ADBC,∠ABC=C=90゜,∵ A沿BE折叠与BC边上的点F 重合,∴∠EBF=

1

ABC=45゜,同理,CDG=45゜,∴ DGC=90-CDG=45゜,∴2

EBF= DGC,∴ BEDG , ADBC知,BGDE,∴四边形BGDE是平行四边形。

第二个传上来的如图2所示,长方形ABCD沿EF对折,折痕为EF,则四边形BFDE是不是平行四边形呢?显然,图2 BFDE平行 EAD

H且相等。所以四边形BFDE是平行四边形。

第三个传上来的如图31)所示,BD是长方形ABCD 的对角线,沿BE折叠,使点A与对角线上的点G重合, 沿DF折叠,使点C与对角线上的点H重合,则四边形

GCBBFDE是平行四边形吗? F

分析:如图32,若能证明AE=CF,则有DE=BF 2而显然有DEBF,故 由一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形 知,四边形BFDE是平 行四边形。如何证明

12AE=CF呢?可由△ABE

3

与△CDF全等而得, 证明:如图32,∵四边形ABCD是长方形,∴AD=BCAB=CD,∠A=C=ABC=90゜, ADBC 1=2又∵点A折叠后与点G重合, 3=

ABC1901902

=同理,4=

222

3=4,在△ABE和△CDF中,∠A=CAB=CD,∠3=4,∴

ABE≌△CDF,∴ AE=CF,而AD=BC,∴ BF=DE,又ADBC,∴ BFDE,∴ 四边形BFDE是平行四边形。

第四个传上来的如图4所示,长方形ABCD沿EF对折,折痕为EF,沿EG折叠,使点A落在EF上,沿FH折叠,使点C落在EF上,则四边形EGFH是平行四边形吗?

分析:长方形ABCD沿EF对折,从而AE=CF=



1

AD 2

1


AEF=90°,点A沿EG折叠,点A落在EF上,所以, AGEF=HFE=45°,则EGFH,又易证△AEG与△CFH 全等,可得EG=FH,所以四边形EGFH是平行四边形。

证明:∵四边形ABCD是长方形,∴AD=BC,∠A= C=90゜,∵长方形ABCD沿EF对折,∴ AE=

E

DH

B

1

CF=BC,∴ AE=CF,又∵点A沿EG折叠,点A落在EF上,

2

1

AD 2

G

C

4

F

GEF=AEG=45°,同理,∠HFE=CFH=45°,∴ GEF=HFE,∴ EGFH 在△AGE和△CHF中,∠A=CAE=CF,∠GEF=HFE,∴△AGE≌△CHF,∴ GE=HF 四边形EGFH是平行四边形。

第五个传上来的如图5所示,长方形ABCD沿EF对折,

EMDA

折痕为EF,沿BM折叠,使点AEF上的点G重合,沿 DN折叠,使点CEF上的点H重合,则四边形BNDM

G

平行四边形吗?

分析:显然有BNDM ,直接证明△ABM≌△CDN有一定 H的困难, 关键要能发现题目中的隐含条件:RtBFGRtDEH

BC从而是∠FBG=EDH,进而得出∠MBG=NDH,则 FN

MBF=NDE,由ADBC得,∠AMB=MBF,所以, 5

AMB=NDE,则BMDN,又及BNDM ,从而四边形BNDM是平行四边形。

证明:∵四边形ABCD是长方形,AD=BCAB=CDADBCABC=CDA=90゜,∵长方形ABCD沿EF对折,∴ BFG=DEH=90°,AE=

11

ADCF=BC,∴ AE=CF,又∵沿BM折叠,使点A22

EF上的点G重合,∴ BG=AB,同理,DH=CD,而AB=CD,∴ BG=DH,∴ RtBFGRtDEH FBG=EDH,∴ MBG=

90FBG90EDH,同理,∠NDH=,从而∠MBG=NDH

22

ADBC AMB=MBF∴∠AMB=NDE BMDN显然BNDM ∴四边形BNDM

是平行四边形。

至此,教师对上述折法中的特殊折痕进行了归纳总结,作为作业,教师鼓励学生继续探索寻找新的折法并加以证明。

由于学生亲自参与了折平行四边形的过程,探索证明所折图形是平行四边形的方法,在活动中获得了应用知识解决具体问题的成功体验。折法是自己找到的,问题是自己解决的,这样的学习是主动和有热情的,关键是学习与探究的内容来源于学生,而非 出于教师的预设和安排。这就是这节课的成功所在。

课后,学生仍然延续着这种探索活动,陆续又找到了其他的折法,图6、图7是其中典型的两例。

G



E AD

AH

E

D

GH

B

B

F6

C

F7

C

2


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