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1.4.3 正切函数的性质与图像
编者: 审核: 学生: 学习目标
会用单位圆内的正切线画正切曲线,并根据正切函数图象掌握正切函数的性质,用数形结合的思想理解和处理问题。
学习重难点:正切函数的图象及其主要性质。
自学导引
正切函数的图象和性质 (1)图象:如下图所示.
(2)性质:如下表所示
函数
y=tan x
性质
定义域 值域 周期 奇偶性 ________函数
增区间 ______________(k∈Z)
单调性
减区间 无
仔细观察正切函数的图象,完成下列问题.
(1)正切函数的图象有________条渐近线,它们的方程为x=__________(k∈Z).相邻两条渐 近线之间都有一支正切曲线,且单调递增.
(2)正切函数的图象是中心对称图形,对称中心有________个,它们的坐标是__________ (k∈Z);正切函数的图象不是轴对称图形,不存在对称轴. (3)函数y=Atan(ωx+φ)(ω≠0)的周期是T=________.
典例剖析
与正切函数有关的定义域问题
例1 求函数y=tan x+1+lg(1-tan x)的定义域.
规律方法 求定义域时,要注意正切函数自身的限制条件,另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线.
变式训练1 求下列函数的定义域.
1
(1)y=;(2)y=lg(3-tan x).
1+tan x
正切函数的单调性及周期性
例2 求函数y=tan(
π
规律方法 y=tan(ωx+φ) (ω>0)的单调区间的求法即是把ωx+φ看成一个整体,解-
2
π
+kπ<ωx+φ<+kπ,k∈Z即可.当ω<0时,先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间.
2变式训练2 求函数y=tan2x
比较正切函数值的大小
例3 利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小. (1)tan
只需将所涉及的两个角通过诱导公式转化到同一个 规律方法 比较两个函数值的大小,
单调区间内,再借助单调性即可.正切函数的单调递增区间为故在
1
x)的单调区间及周期. 24
的单调区间及周期. 3
613
与tan
57
;(2)tan 2与tan 9.
2
k,
k,k∈Z.2
和3
,,2222
上都是增函数.
变式训练3 比较下列两组函数值的大小. (1)tan(-1 280°)与tan 1 680°;(2)tan 1,tan 2,tan 3.
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