余弦定理教案

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余弦定理

教学目标 知识与技能：

1. 掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题

2. 能够运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 过程与方法：

1. 学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的

边长与角度之间的一种数量关系——余弦定理

2. 在探究学习的过程中，认识到余弦定理可以解决某些与测量和几何计算有关的实际问题，

帮助学生提高运用有关知识解决实际问题的能力 情感、态度与价值观：

1. 通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，培养探索精神和创新意

识

2. 在运用余弦定理的过程中，逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度，学习用数学的思

维方式解决问题、认识世界

3. 通过本节的学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值，进而领会数学的人文价

值、美学价值，不断提高自身的文化素养 教学重点：余弦定理的证明及应用

教学难点：向量知识在证明余弦定理时的应用，与向量知识的联系过程 教学过程

一，创设情境，课题导入

1.复习：已知A30,C45,b16，解三角形（学生板演） 2.若将条件C45改成c8如何解三角形？

设计意图：把研究余弦定理的问题和平面几何中三角形全等判定的方法建立联系，沟通新旧知识的联系，引导学生体会量化的思想和观点

师生活动：用数学符号来表达“已知三角形的两边及其夹角解三角形”：已知

ABC,BCa,ACb和角C，求解c,B,A

引出课题：余弦定理 二．设置问题，知识探究

1.探究：我们可以先研究计算第三边长度的问题，那么我们又从哪些角度研究这个问题能得到一个关系式或计算公式呢？

设计意图：期望能引导学生从各个不同的方面去研究、探索得到余弦定理 师生活动：从某一个角度探索并得出余弦定理 2.考虑用向量的数量积，如图

A

C B



设CBa,CAb,ABc，那么cab，


ccc(ab)(ab)a2b22abcosC即c2a2b22abcosC

引导学生证明：a2b2c22bccosA b2a2c22accosB

3.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 三．典型例题剖析

1.例1.在ABC中，已知A120,b2cm,c2cm,解三角形

分析：已知三角形的两边和它们的夹角解三角形，基本思路是先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求其各角

变式引申：在ABC中，已知A30,b5,c53，解三角形

2.探究：余弦定理是关于三角形三边和一个角的一个关系式，把这个关系式做某些变形，是否可以解决其他类型的解三角形问题？ 设计意图：（1）引入余弦定理的推论；（2）对一个数学式子做某种变形，从而得到解决其他类型的数学问题的方法，这是一种研究问题的方法

师生活动：对余弦定理做某些变形，研究变形后所得关系式的应用，因此应把重点引导到余弦定理的推论上去，即讨论已知三边求角的问题

a2b2c2b2c2a2a2c2b2

引入余弦定理的推论：cosA，cosB，cosC

2ab2bc2ac

公式作用：

（1） 已知三边求三角

（2） 若A为直角，则cosA0,从而b2c2a2；

若A为锐角，则cosA0，从而b2c2a2； 若A为钝角，则cosA0，从而b2c2a2

例2.已知在ABC中，a23,b22,c

62，求A,B,C

先让学生自己分析、探索，老师进行引导、启发和补充，最后师生一起求解 总结：对于已知三角形的三边求三角这种类型，解三角形的基本思路是先由余弦定理求出两角，再用三角形内角和定理求出第三角

变式引申：在ABC中，a:b:c2:6:(31)，求A,B,C

让学生板演，师生共同评判 3.三角形形状的判定

例3.在ABC中，acosAbcosB,试确定此三角形的形状 求解思路：判断三角形的形状可有两种思路：一是利用边之间的关系来判断，在运算过程中，尽可能把角的关系转化为边的关系；二是利用角之间的关系来判断，将边转化为角

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