三角函数公式大全

2023-03-15 00:02:16   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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三角函数,公式,大全
同角三角函数的基本关系 倒数关系: tanα ·cotα1 sinα ·cscα1 cosα ·secα1 商的关系: sinα/cosαtanαsecα/cscα cosα/sinαcotαcscα/secα 平方关系: sin^2(α)cos^2(α)1 1tan^2(α)sec^2(α) 1cot^2(α)csc^2(α) 平常针对不同条件的常用的两个公式 sin² α+cos² α=1 tan α *cot α=1 一个特殊公式 sina+sinθ*sina+sinθ=sina+θ*sina-θ 证明:(sina+sinθ*sina+sinθ=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sina+θ*sina-θ 锐角三角函数公式 正弦: sin α=α的对边/α 的斜边 余弦:cos α=α的邻边/α的斜边 正切:tan α=α的对边/α的邻边 余切:cot α=α的邻边/α的对边 二倍角公式 正弦 sin2A=2sinA·cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) =2Cos^2(a)-1 =1-2Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 正切 tan2A=2tanA/1-tan^2(A) 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin(3a) =sin(a+2a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin^3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa =4cos^3a-3cosa sin3a=3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos^3a-3cosa =4cosa(cos²a-3/4) =4cosa[cos²a-(√3/2)^2] =4cosa(cos²a-cos²30°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(6-a)tan(60°+a) n倍角公式 sinn a=Rsina sina+π/n……sina+n-1π/n)。 R=2^n-1 证明:当sinna=0时,sina=sinπ/n)或=sin2π/n)或=sin3π/n=……=sin【(n-1π/n 这说明sinna=0与{sina-sinπ/n)}*sina-sin2π/n)}*sina-sin3π/n)}*……*sina- sin【(n-1π/n=0是同解方程。 所以sinna)与{sina-sinπ/n)}*sina-sin2π/n)}*sina-sin3π/n)}*……*sina- sin【(n-1π/n成正比。 而(sina+sinθ*sina+sinθ=sina+θ*sina-θ),所以 sina-sinπ/n)}*sina-sin2π/n)}*sina-sin3π/n)}*……*sina- sin【(n-1π/n sina sina+π/n……sina+n-1π/n)成正比(系数与n有关 ,但与a无关,记为Rn)。 然后考虑sin2n a)的系数为R2n=R2*(Rn)^2=Rn*(R2)^n.易证R2=2,所以Rn= 2^n-1 半角公式 tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2 cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)) 和差化积 sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 两角和公式 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ 积化和差 sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2 cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/


2 双曲函数 sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 tanh(a) = sin h(a)/cos h(a) 公式一: α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin2kπα= sinα cos2kπα= cosα tan2kπα= tanα cot2kπα= cotα 公式二: α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sinπα= -sinα cosπα= -cosα tanπα= tanα cotπα= cotα 公式三: 任意角α -α的三角函数值之间的关系: sin-α= -sinα cos-α= cosα tan-α= -tanα cot-α= -cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到π-αα的三角函数值之间的关系: sinπ-α= sinα cosπ-α= -cosα tanπ-α= -tanα cotπ-α= -cotα 公式五: 利用公式-和公式三可以得到-αα的三角函数值之间的关系: sin-α= -sinα cos-α= cosα tan-α= -tanα cot-α= -cotα 公式六: π/2±α3π/2±αα的三角函数值之间的关系: sinπ/2+α= cosα cosπ/2+α= -sinα tanπ/2+α= -cotα cotπ/2+α= -tanα sinπ/2-α= cosα cosπ/2-α= sinα tanπ/2-α= cotα cotπ/2-α= tanα sin3π/2+α= -cosα cos3π/2+α= sinα tan3π/2+α= -cotα cot3π/2+α= -tanα sin3π/2-α= -cosα cos3π/2-α= -sinα tan3π/2-α= cotα cot3π/2-α= tanα (以上kZ) A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = √{(A² +B² +2ABcos(θ-φ)} · sin{ ωt + arcsin[ (A·sinθ+B·sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 表示根号,包括{……}中的内容 诱导公式 sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan (-α)=-tanα sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tanA= sinA/cosA tanπ/2α)=-cotα tanπ/2α)=cotα tanπα)=-tanα tanπα)=tanα 诱导公式记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限 万能公式 sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))²] cosα=[1-(tan(α/2))²]/[1+(tan(α/2))²] tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))²] 其它公式 (1) (sinα)²+(cosα)²=1 (2)1+(tanα)²=(secα)² (3)1+(cotα)²=(cscα)² 证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)²,第二个除(cosα)²即可 (4)对于任意非直角三角形,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC : A+B-C tan(A+B)=tan(π-C) (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得证 同样可以得证,x+y+z=nπ(nZ),该关系式也成立 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论 (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA²+(cosB²+(cosC²=1-2cosAcosBcosC (8)sinA²+sinB²+sinC²=2+2cosAcosBcosC 其他非重点三角函数 csc(a) = 1/sin(a) sec(a) = 1/cos(a) 编辑本段内容规律 三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 1三角函数本质: [1] 根据右图, sinθ=y/ r; cosθ=x/r; tanθ=y/x; cotθ=x/y 深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: 推导: 首先画单位圆交XCD,在单位圆上有任意AB点。角AODαBODβ,旋转AOB使OBOD合,形成新A'OD A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) [cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 和差化积及积化和差用还原法


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