第8课时等差数列的前n项和(3)

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学习要求

1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；

2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题； 3．利用等差数列解决相关的实际问题。

【自学评价】

等差数列的性质：

1．当公差d0时，等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的_______函数，且斜率为公差d；前n和

Snnan1)dd

1

n(2d2n2(a12

)n是关于n的_____________函数.

2．若公差d0，则为递增等差数列，若公差d0，则为递减等差数列，若公差d0，则为常数列。 3．当mnpq时,则有_____________， 特别地，当mn2p时，则有__________ 4．在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列是_______．

5．若{an}、是等差数列，

Sn,S2nSn,S3nS2n ，…成__________ 6．在等差数列{an}中，当项数为偶数2n时，

S偶－S奇

nd；项数为奇数2n1时，

S奇S偶a中，S2n1(2n1)a中

（这里a中即an）；S奇:S

偶

k()1:k

。

7．若等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为AAn

n、Bn，且

Bf(n)，则n

anb(2n1)an1)bA2n1

n(2nnB2n1f(2n1).

8．如果两等差数列有公共项，那么由它们听课随笔 的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的____________.

注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究anbm.

【精典范例】

【例1】某剧场有２０排座位，后一排比前一排多２个座位，最后一排有６０个座位，这个剧场共有多少个座位？ 【解】

【例2】某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径４０ｍｍ，满盘时直径１２０ｍｍ已知卫生纸的厚度为０．１ｍｍ，问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少米（精确到１ｍ）？ 【解】






【例3】）教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款，它享受整存整取利率，利息免税．教育储蓄的对象为在校小学四年级（含四年级）以上的学生．假设零存整取３年期教育储蓄的月利率为2.1‰． （１）欲在３年后一次支取本息合计２万元，每月大约存入多少元？ （２）零存整取３年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时３年后本息合计约为多少（精确到１元）？ 【解】

追踪训练一

1. 已知an =

n*n2

156

(n∈N), 则数列{an}

的最大项是（ ） A．第12项



B．第13项

C．第12项或第13项

D．不存在

2. 已知等差数列｛ａｎ｝满足ａ１＋ａ２＋…＋ａ１０１＝０，则有（ ）． Ａ．a1a101＞０ Ｂ．a1a101＜０ Ｃ．a1a101＝０ Ｄ．a5151

3. 已知一个凸多边形的内角度数组成公差为５°的等差数列，且最小角为１２０°，问它是几边形．

4．某钢材库新到２００根相同的圆钢，要把它们堆放成正三角形垛（如图），并使剩

余的圆钢尽可能地少，那么将剩余多少根圆听课随笔

钢？





5．时钟在１点钟的时候敲一下，在２点钟的时候敲２下……在１２点钟的时候敲１２下，中间每半点钟也敲一下．一昼夜内它一共敲多少下？

【选修延伸】

【例4】已知数列an的通项公式为

a1

n＝

(2n1)(2n1)

，求它的前n项和．

分析：我们先看通项a1

n＝(2n1)(2n1)

，

然后将其分裂成11122n1

2n1

，

再求和．

【解】

点评: 如果数列的通项公式可转化为fn1f(n)形式，常采用裂项求和的方法．特别地，当数列形如



1

ana，其中n1

an是等差数列，可尝试采用此法．

常用裂项技巧如：

11n(nk)k1n1

nk

，

1nkn

1

knkn

等．
【例5】已知数列an满足a1

23

，an

n1

n1an，求an. 【解】

追踪训练二 1．在等差数列中，前n项的和为Sn,若Sm=2n,Sn=2m,(m、n∈N且m≠n)，则公差d的值为（ ）

A.－4(mn)

mn B.－

mn

4(mn)



C.－2(mn)mn



D. －mn

2(mn)



2．三角形三个边长组成等差数列，周长为36，内切圆周长为6π，则此三角形是（ ）A．正三角形

B．等腰直角三角形

C．等腰三角形，但不是直角三角形 D．直角三角形，但不是等腰三角形 3．设fx

4x4，利用课本中推导等差

x2

数列前n项和方法，求f12

11

f

11

…f10

11

的值为 . 4．已知数列a1

n满足a12

，

a1

n1ann2n

，求an.



5．已知an1

13，an1

3n2

an (n1)，听课随笔 3求an.





【师生互动】

学生质疑

教师释疑

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