2018考研数学三真题

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2018年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题

一、选择题:1

8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的.

(1) 下列函数中，在x0处不可导的是（ ） (A)fxxsinx (B) fxxsinx (C)

fxcosx

(D)

fxcosx



(2)设函数fx在0,1上二阶可导，且

10

fxdx0,则（ ）

(A)当f(x)0时,f(1)0

(B))0时,f(12 当f(x2)0

(C)当f(x)0时,f(1

(D)1

2

)0

当f(x)0时,f(2

)0



2



(3) 设M

21x

2





1x2dx,N1x



xdx,K2

2e21cosx

dx,则（ ） 2

(A)MNK (B)MKN (C)KMN

(D)KNM

(4)设某产品的成本函数C(Q)可导，其中Q为产量.若产量为Q0时平均成本最小，则( (A) C(Q0)0

(B)

C(Q0)C(Q0)

(C)

C(Q0)Q0C(Q0) (D) Q0C(Q0)C(Q0) 110(5) 下列矩阵中，与矩阵011

相似的为（ ）

00111 (A) 1

011

(B) 101

011001

001111101 (C) 010(D) 010

001



001

(6) 设A、B为n阶矩阵，记rX为矩阵X的秩，X,Y表示分块矩阵，则（ ） (A) rA,ABrA

(B) rA,BArA

(C) rA,BmaxrA,rB

(D) rA,Br

ATB

T





)


（7）设随机变量X的概率密度fx满足f1xf1x,且 (A) 0.2

(B)0.3

fxdx0.6,则PX0（ ）

20

(C)0.4 (D)0.5

2

1n

(8)设X1,X2,...,Xn(n2)为来自总体N(,)(0)的简单随机样本，令XXi,

ni1

1n1n2*

S(XiX),S(Xi)2,则（ ） n1i1ni1

(A)

n(X)

~t(n)

Sn(X)

~t(n) *

S

(B)

n(X)

~t(n1)

Sn(X)

~t(n1) *

S

(C) (D)

二、填空题：9

2

14小题,每小题4分,共24分.

(9)曲线yx2lnx在其拐点处的切线方程是________.

(10)

x2xearcsin1edx________. 



2

(11)差分方程yxyx5的通解是________.

(12)设函数fx满足fxxfx2xfxxoxx0,且f02,则f1

______.(13)设A为3阶矩阵,a1,a2,a3是线性无关的向量组,若Aa1a1a2,Aa2a2a3,Aa3a1a3,

则A=__________.

(14) 随机事件A,B,C相互独立,且PAPBPC

1

,则PACAB__________. 2

三、解答题：15～23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)

1

x

已知实数a,b满足limaxbex2,求a,b.

x



(16)(本题满分10分)

设平面区域D由曲线y31x2与直线y3x及y轴围成,计算二重积分x2dxdy.

D

(17)(本题满分10分)

将长为2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值.






(18)(本题满分10分)



1n

ax(1x1),求an. 已知cos2xn2

(1x)n0

(19)(本题满分10分)

设数列xn满足：x10,xnexn1exn1(n1,2,),证明xn收敛，并求limxn.

n



(20)(本题满分11分)

设实二次型f(x1,x2,x3)(x1,x2x3)2(x2x3)2(x1ax3)2,其中a是参数.



(I) 求f(x1,x2,x3)0的解； (II) 求f(x1,x2,x3)的规范形.

(21)(本题满分11分)

12a1a2



已知a是常数，且矩阵A=130可经初等列变换化为矩阵B=011.

27a111

(I) 求a;

(II) 求满足APB的可逆矩阵P.

(22)(本题满分11 分)

1

设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为PX1PX1,Y服从参数为的泊松分布.

2

令ZXY.

(I) 求CovX,Z; (II) 求Z的概率分布.

(23)(本题满分11 分)

设总体X的概率密度为

1

f(x,)e,x,

2

其中(0,)为未知参数，X1,X2,



x

,Xn为来自总体X的简单随机样本.记的最大似然估计量为.

ˆ；(I) 求

ˆ和D(ˆ). (II) 求E

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