宏观的变量与微观的对应

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宏观的变量与微观的对应

——初、高中两种函数定义的比较

初中的函数定义是朴素的、宏观的，它告诉我们，世界上万物都在运动着，而且相互关联着。从某个数量的变化上看运动，便成为一个变量，而变量之间的关联，正是函数关系。到了高中，函数的定义是静态的、微观的。这时的函数，着重在一个集合的每一个元素到另一个集合中惟一确定元素之间的对应关系。

初中的函数概念比较宏观，重点是解决两个变量之间的依存关系。定义中有自变量、因变量的区分，显然是动态的定义。正如恩格斯在评价笛卡儿的工作时说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学。因而微分和积分的运算也就立刻成为必要的了”。

高中的函数定义，则开始向静态转换。函数作为集合之间映射的特例，归结为“一种对应关系”，自变量、因变量统统不见了。高中函数的定义，实际上是一种微观的考察，对初中那个定义进行了抽象化，精确化的处理。

动态的描述体现一种文化内涵，粗略、生动、原始的思想，构成宏观的观念。静态的表述，则进行形式化和精确化。所以初中、高中的函数定义各有其内涵，二者互为表里、相得益彰，却并无高低之分。

这里可以再次运用王国维的“出入观”进行分析。可以说，宏观的函数定义相当于“出外”观之，微观的函数定义，则是入内写之，


各有千秋。

现在，有一种贬低初中的动态定义的倾向，以为只有集合对应下的函数概念是现代的、正确的。这种看法是片面的。打个比方，《红楼梦》里的林黛玉和薛宝钗，都是活生生的典型人物，无所谓哪个好，哪个坏。各有各的特点，各有各的风韵。学会兼容并包地欣赏，才能把握函数概念的精髓。

如果我们要考察函数的变化趋势，那么我们多从宏观的角度进行考察。一次函数表示直线，二次函数的图像是抛物线，三角函数是周期变化的，指数函数则是急剧式的变化，人称“指数爆炸”。至于对数函数，则是缓慢上升的例子，比y=x的直线还慢.这里,我们无需”对应”关系来帮忙,只需宏观地观察数量的动态变化趋势就行了.

但是,科学研究除了要宏观地考察之外,还要深入地、精细地观察每一个细节，微观地考察事物。正如物理学既要考察天体的宏观运动，也要考察原子内部的电子结构一样。高中的函数概念，更注意每一个自变量x和因变量y之间的对应关系.以分段函数为例,我们不仅看它的一般变化趋势,还特别关注端点处所对应的函数值,例如取值为1的一段,是否包括左端点或右端点?这就是比较微观的细究了. 著名的狄利克雷函数是指:定义在[0,1]上的如下函数: F(x) = 0 (x是无理数) 或1 (x是有理数)

这样的函数,只靠宏观描述难以奏效,只有微观地静态描述才显示出数学的精确性.

宏观与微观,实际上是人们常常运用的视角.管理工厂,既要观察

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